Quadratische Transformationen

4.7 Quadratische Transformationen

Quadratische Transformationen sind durch eine Modulgleichung vom Grad $n = 2$ bestimmt,³⁷ also durch Periodenverhältnisse wie z. B.

K Λ K-′ = 2Λ-′.

(93)

4.7.1 LANDEN-Transformation

Die LANDEN-Transformation ist wahrscheinlich der bekannteste Vertreter aller quadratischen Transformationen [AS72, 17.5], [WW27, § $22 ⋅42$ ], [Ach70, § 38], [Cay76, § 254], [Tri48, IV, § 7], [Hur00, II-7, § 5]. Sie ist gekennzeichnet durch die “Periodenbeziehungen”

welche eine Teilung der ersten (also reellen) Periode durch zwei anzeigen.³⁸

Transformationsbeziehung Die mit Gleichung 94 verbundenen Transformationsbeziehungen sind:³⁹

Beweis. Beschränkt man sich auf die Periodenrechtecke um den Koordinatenursprung dann liegen die Nullstellen von $sn(u∕M; λ)$ bekanntlich bei $u∘ = 0,±2M Λ$ , was nach den Periodenverhältnissen laut Gleichung 94 äquivalent zu $u∘ = 0,±K$ ist. Demzufolge liegen die Nullstellen bezüglich $x$ bei $x∘ = 0,±1$ . In gleicher Art und Weise ergibt sich für die Pole $u = 2M Λ ± jM Λ ′ = K ±jK ′ ×$ und entsprechend für $x$

′ 1- x× = sn(K ± jK ;k) = k.

In Bezug auf den allgemeinen Lösungsansatzes muß es sich für $y= f(x;k)$ also um eine Beziehung der Form

2 y2 = A2x2-1-− x 1 − k2x2

(98)

handeln. Um nun die Werte für den Multiplikator $M$ , das Modul $λ$ sowie $A$ zu bestimmen ist es günstig in beiden Lösungsansätzen das Verhältnis $y∕x$ zu bilden und dann gleichzusetzen.

∘ -------- 1 − x2 sn(u∕M; λ) A ----2-2 =---------- 1− k x sn(u;k)

(99)

Setzt man nun noch die drei ausgewählten Werte $u = K ∕2$ , $u= 0$ und $u= jK′$ ein, dann sind die (ebenfalls drei) Unbekannten leicht zu bestimmen. __

An der Stelle nimmt nach Gleichung 38 der elliptische Sinus (und demzufolge auch ) den Wert an und es gilt
1. Setzt man nun den Wert $u = 0$ und folglich auch $x= 0$ in Gleichung 99 ein, dann wird wegen der Unbestimmtheit des rechtsseitigen Ausdrucks eine Grenzwertbestimmung nach der Regel von BERNOULLI-L’HOSPITAL notwendig.
2. Den dritten Wert $u= jK′ = jM Λ′$ kann man beim rechtsseitigen Grenzübergang auf den vorhergehenden Fall zurückführen, wenn $sn(u+ jK′;k) = k−1ns(u;k)$ bzw. $′ − 1 sn(u∕M + jΛ ;λ )= λ ns(u∕M; λ)$ nach Tabelle 3 beachtet wird. Um auch den linksseitigen Grenzwert ermitteln zu können, sind vorbereitend noch Zähler und Nenner durch $x$ zu dividieren.

Eine weitere interessante Darstellung der Transformationsbeziehung ist möglich, wenn man die Verschiebungsrelation $sn(u+ K;k) = cd(u;k)$ zu Hilfe nimmt.

u ′ sn(M-;λ)= (1+ k )sn(u;k)sn(u+ K;k)

In äquivalenter Art und Weise kann auch die folgende Formel abgeleitet werden, wenn man die Periodenbeziehungen 94 der LANDEN-Transformation berücksichtigt.

u u [ ′ ( K ) ( K )]2 sn(M-− Λ;λ)sn(M-+ Λ;λ )= − (1 + k)sn u+ -2;k sn u− 2-;k

Funktionsverlauf Der Verlauf der Transformationsbeziehung $y= f(x;k)$ entsprechend Gleichung 98

∘ -------- ′ 1 − x2 y = (1+ k)x 1-−-k2x2.

(100)

ist in Abbildung 10 grafisch dargestellt.

Abbildung 10: Lösung der LANDEN-Transformation $y= f(x;k)$

Im Gegensatz dazu zeigen die einzelnen Bilder in Abbildung 11 die äquivalente Parameterdarstellung nach Gleichung 76 und 77. Der Parameter $u$ läuft wieder auf dem Wegabschnitt $○1$ in Abbildung 8a von $0$ nach $K$ , dann auf dem Teilstück $○2$ bis $K + jK′$ und zuletzt bis zum Punkt $2K + jK′$ (bzw. rückwärts nach $jK ′$ ).

(a) $0≤ u≤K$ (b) $u =K +jv$ (c) $u= K+ jK′+ v$

Abbildung 11: LANDEN-Transformation in Parameterdarstellung

Das Modul $λ$ Um eine Vorstellung vom Verlauf der Modulgleichung $λ = ρ(k)$ zu bekommen, wurde Formel 96 in Abbildung 12 grafisch dargestellt.⁴⁰

Abbildung 12: Modultransformation $1 − k′ λ = -----′ 1 + k$

Aus der Modulbeziehung 96 können außerdem die folgenden nützlichen Vertauschungsrelationen abgeleitet werden.

Gebräuchliche Darstellungen für das Modul $k$ sind außerdem

die wegen der Symmetrie von Formel 96 äquivalent auch für $λ′$ gelten.

√-′ √ -- λ′ =-2-k- = (1+ λ) k′ 1 + k′

(103)

Eine weitere nützliche Formel für $λ$ ist die folgende

( k )2 ( 1 − k′)2 λ = 1+-k′ = --k-- ,

die sich aus der Multiplikation von Gleichung 96 mit $′ 1 + k$ bzw. $′ 1− k$ unter Berücksichtigung der Definition des komplementären Moduls in Formel 1 ergibt.

Beziehungen für $cn$ Die Transformationsbeziehung für $cn (u∕M; λ)$ lautet

′ 2 cn( u;λ) = 1−-(1+-k-)sn-(u;k). M dn(u;k)

(104)

Beweis. Ausgangspunkt soll Definitionsgleichung 31 sowie die LANDEN-Transformation des elliptischen Sinus’ in Formel 95 sein. Nach Kombination beider Gleichungen multipliziert man zuerst alle Terme aus, extrahiert danach $(1 + k′)sn2(u;k)$ und vereinfacht abschließend durch Anwendung des binomischen Satzes.

Beziehungen für $dn$ Die Beziehung für $dn$ kann ebenfalls ausgehend von der des elliptischen Sinus’ in Gleichung 95 und mit Hilfe seiner Definitionsgleichung 32 ermittelt werden.

u- 1-−-(1-−-k′)sn2(u;k) dn(M ;λ )= dn (u;k)

(105)

Beweis.

Ausmultiplizieren sowie nachfolgende Anwendung des Binomischen Satzes führt zu

Die weitere Umformung der rechten Seite von Gleichung 105 kann jetzt noch so erfolgen, daß sie einzig und allein auf $dn(u;k)$ basiert.

1 k′+ dn2(u;k) 1 (1− λ )+ (1 + λ)dn2(u;k) dn( uM;λ )=----′ ⋅-----------= -⋅----------------------- 1+ k dn(u;k) 2 dn(u;k)

Beweis. Für den Beweis verwendet man am einfachsten Definitionsgleichung 32 und Hilfsformel 2.

Trigonometrische Beziehungen Bezüglich Differentialgleichung 70 ist die LANDEN-Transformation durch die Substitution

′ sinθ = (1+∘-k-)sinφ-cosφ- 1− k2sin2 φ

(106)

gekennzeichnet. Mit der Beziehung für doppelte Winkel $sin 2φ = 1sin φcosφ 2$ ist äquivalent dazu

sinθ = --1--⋅ ∘--sin2φ----. 1 + λ 2 2 1− k sin φ

Aus Gleichung 104 ergibt sich folgerichtig für den Cosinus

1− (1+ k′)sin2φ cos2φ− k′sin2 φ cosθ = -∘------------- = -∘------------- 1 − k2sin2φ 1− k2sin2φ

(107)

und mit dem Theorem $sin2φ = 1(1− cos2φ ) 2$ sowie der Modulbeziehung 96

1- 1−-k′+-(1+-k′)cos2φ- --1-- --λ +-cos2φ-- cosθ = 2 ⋅ ∘ ----2---2-- = 1+ λ ⋅∘ ----2---2--. 1 − k sin φ 1− k sin φ

Insbesondere für numerische Berechnungen hat der trigonometrische Tangens Bedeutung. Die entsprechenden Beziehungen können direkt aus Formel 95 sowie 104 gewonnen werden.

sin-θ- (1+-k′)sinφ-cosφ- (1-+k′)tan-φ tan θ = cosθ = cos2 φ− k′sin2φ = 1− k′tan2φ

(108)

Eine weitere oft verwendete Darstellungsvariante auf der Grundlage des Tangens ist

′ tan(θ − φ )= k tan φ.

(109)

Beweis. Ausmultiplizieren von Gleichung 108 gefolgt von Umstellen nach $k′tanφ$ ergibt

Mit dem Additionstheorem $tanα−-tanβ- tan(α − β)= 1+tanα⋅tanβ$ kann man nach $tan(θ − φ )$ auflösen.

′ tan(θ − φ )= k tan φ.

Eine ebenfalls oft zu findende Darstellung mit Hilfe des trigonometrischen Sinus’ lautet:

Beweis. Sie kann aus Gleichung 109 abgeleitet werden, wenn man die trigonometrische Produktformel $sinα cos β = 1∕2[sin(α+ β )+ sin(α − β)]$ anwendet.

Beziehungen für $F(φ;k)$ Aus den allgemeinen Transformationsbeziehungen 77 und 76 sowie Formel 97 resultiert sofort folgende Darstellung

4.7.2 GAUSS-Transformation

Die GAUSS-Transformation realisiert im Gegensatz zur LANDEN-Transformation (welche die reelle Periode teilt) eine Division der imaginären Periode durch zwei [Ach70, § 39], [Cay76, § 246]. Sie wird in vielen Literaturquellen durch folgende Gleichungen beschrieben.

Es ist nun relativ einfach die GAUSS-Transformation mit Hilfe der elliptischen Funktionen direkt aus der LANDEN-Transformation abzuleiten.⁴¹

Beweis. Nimmt man als Ausgangspunkt Gleichung 95 der LANDEN-Transformation und ersetzt $sn(u;k)cd(u;k)$ mit Hilfe von Gleichung 52, dann ergibt sich

∘ ------------ 1 + k′ 1− dn(2u;k) sn( uM;λ )=----- -----------. k 1+ dn(2u;k)

Quadrieren und Umstellen nach $dn(2u;k)$ führt zu einer ersten recht bekannten Gleichung der GAUSS-Transformation.

Will man die Beziehungen für den elliptischen Sinus ermitteln, dann ist auf der linken Seite noch $sn(2u;k)$ zu extrahieren. Dazu verwendet man am am einfachsten Definitionsgleichung 32 der Delta-Amplitude sowie Hilfsformel 102.

Nimmt man zuletzt noch die Ersetzungen

vor und bezieht die Transformationsbeziehungen 95, 97, und 96 mit ein, dann erhält man die Beziehungen der GAUSS-Transformation.⁴²

Beziehungen für $dn$ Für die Delta-Amplitude $dn$ ergibt sich die Transformationsbeziehung recht einfach aus Zwischenformel 116, wenn Gleichung 34 in der Form

2 2 2 ksn (u;k)= 1− dn (u;k)

berücksichtigt wird.

Beziehungen für $cn$ Die noch ausstehende Beziehung für $cn$ lautet

cn ( u;λ) = cn(u;k)dn(u;k). M 1+ ksn2(u;k)

(118)

Trigonometrische Beziehungen Die gesuchte Beziehung für den Sinus erhält man wieder durch direkte Umsetzung von Transformationsbeziehung 113 mit Hilfe der trigonometrischen Äquivalenzen in Gleichung 70 sowie 30.

sin θ = (1+-k)sin-φ- 1 +k sin2φ

Eine eng mit der GAUSS-Form des elliptischen Integrals erster Art (siehe Gleichung 6) verbundene Darstellung ist immer die über den Tangens. Sie kann aus der vorangegangenen Gleichung sowie dem Äquivalent für den Cosinus nach Formel 118

∘ ----------- cosφ 1 − k2sin2φ cos θ = ----------------- 1 + ksin2φ

gewonnen werden, wenn man dann noch die trigonometrische Beziehung $sin2φ = tan2φ ∕(1 + tan2φ )$ hinzuzieht.

Periodenverhältnis Die Bestimmung des Periodenverhältnisses gestaltet sich ausgehend von den Periodenbeziehungen der LANDEN-Transformation relativ einfach. Man muß dabei nur Gleichung 94 auf die mit einem tiefgestellten “g” gekennzeichneten Größen der GAUSS-Transformation umsetzen.