Elliptische Losung

Eine auf elliptischen Funktionen basierende Lösung der Differentialgleichung 70 ist ermittelbar, wenn man zu einer Parameterdarstellung mit Hilfe der neuen Variablen $u$ übergeht.²⁸

Integriert man nun beide Seiten und nimmt die Definitionsgleichung 29 der Amplitudenfunktion des elliptischen Sinus’ (Gleichung 30) hinzu, so ergibt sich für $x$

In Gleichung 76 wurde auf die Einführung einer Integrationskonstante verzichtet, da man ohne wesentliche Einschränkung vom Funktionswert $u= 0$ für $φ = 0$ ausgehen kann.

Fragt man sich nun, welche Werte der Parameter $u$ grundsätzlich annehmen darf, damit $x$ reell wird, dann ist ein Blick auf Abbildung 8 hilfreich. Sie zeigt nocheinmal den Verlauf von $sn$ für komplexe Argumente, wobei die zusätzlichen Parameterlinien anschaulich illustrieren,²⁹ daß $x$ nur entlang der Geraden $u+ jβK ′$ für reelles $u$ und $u+ αK$ für imaginäres $u$ nicht komplex ist ( $α, β ∈ℤ$ ).

(a) Realteil (b) Imaginärteil

Abbildung 8: Elliptischer Sinus $sn[Re(u)+ jIm(u);k]$ mit Parameterlinien

Mit diesem Wissen kann man bezüglich $x$ den mit Pfeilen markierten “Wertepfad” in Abbildung 8a für das Argument $u$ angeben. Dieser Weg garantiert zwar, daß $x$ monoton Werte zwischen $0$ und $∞$ annimmt, jedoch sind weitere $x$ -Werte möglich, wenn man die Periodizität des elliptischen Sinus’ berücksichtigt.

Soll auch $y$ (oder zumindest $y2$ ) reell sein,³⁰ dann muß sich $u+ C$ auf dem Gitter $γMΛ + jδM Λ′$ ( $γ,δ ∈ℤ$ ) bewegen. Abbildung 9 illustriert dieses anschaulich, wobei folgende Definitionen für die reelle bzw. imaginäre Periode von $x$ und $y$ gelten sollen:³¹

Abbildung 9: Gitter rein imaginärer/reeller Werte für $y$

Sinnvolle Werte für die Integrationskonstante $C$ sind entsprechend nur $C = 0$ und $C = ±M Λ$ , wobei der Wert $± M Λ$ rein reelle Werte für $y$ bei geradem $γ$ ermöglicht.³² Auf der Grundlage dieser Betrachtungen, welche ja im Wesen auf der doppelten Periodizität des elliptischen Sinus’ basieren, kann man (ohne etwas zu verändern) die Gleichungen 76 und 77 auch folgendermaßen schreiben:³³

Soll gewährleistet sein, daß nur eine endliche Anzahl möglicher (unterschiedlicher) $x$ -Werte zu einem bestimmten Wert $y$ gehören (sowie umgekehrt),³⁴ dann muß man ausgehend von diesen Gleichungen die Periodenbedingung

formulieren. Separiert man darin Real- und Imaginärteil, dann ergibt sich für den Fall eines reellen Multiplikators $M$

Für den Fall eines ganzzahligen Verhältnisses $γ∕δ$ bzw. $δ∕γ$ , also eines Periodenverhältnisses der Form

K Λ K ′ Λ′ -′-= n-′ oder ---= n --, K Λ K Λ

(80)

spricht man bezüglich der Beziehung zwischen $k$ und $λ$ von einer Modulgleichung vom Grad $n$ .

Der Spezialfall $γ = n$ , $δ = 1$ wird dabei als die 1. elliptische Haupttransformation ( $n$ -te Teilung der reellen Periode), der Fall $γ = 1$ , $δ = n$ als 2. elliptische Haupttransformation ( $n$ -te Teilung der imaginären Periode) bezeichnet.

4.4 Elliptische Lösung