Unvollstandiges elliptisches Integral erster Art

LEGENDRE’sche Normalform Das unvollständige elliptische Integral erster Art ist in seiner LEGENDRE-Form folgendermaßen definiert

∫ φ F(φ;k)= ∘----dϕ-----, 0 1− k2sin2ϕ

(3)

JACOBI-Form Mit der Substitution $t = sinϕ$ in Gleichung 3 gelangt man zu der von C.G.J. JACOBI bevorzugten Form.

Beweis. Einsetzen der Substitution sowie der Ableitung $dt∕dϕ = cosϕ$ in Definitionsgleichung 3 führt sofort zum Ergebnis

Um im weiteren die Eindeutigkeit zu gewährleisten und außerdem eine einfache Schreibweise des Integrals bei Verwendung des Argumentes $x$ zu erhalten, soll außerdem definiert sein:

∫ x--------dt------- F⋆(x;k)= 0 ∘ (1-−-t2)(1−-k2t2).

(5)

RIEMANN’sche Normalform Eine weitere, heute nicht mehr so geläufige Form, ist die RIEMANN’sche Form. Sie kommt zustande, wenn man in der JACOBI’schen Darstellung nach Gleichung 5 den Term $t2 = ξ$ substituiert. Mit dem zugehörigen Differential $dξ = 2tdt$ ergibt sich so

und letztlich (die nicht besonders gekennzeichnete) RIEMANN’sche Normalform des Integrals.

GAUSS-Form Eine von C.F. GAUSS intensiv verwendete Form des elliptischen Integrals erster Art⁴ ist

Beweis. Um dieses Integral auf $F(φ;k)$ zurückzuführen, wird zuerst eine passende Substitution nach [AS72, 17.4.41 ff.] gewählt

t tanϕ = b-

(9)

und dann mit Hilfe von $(tanϕ)′ = 1+ tan2ϕ = cos−2ϕ$ die Ableitung $dt∕dϕ$ gebildet.

dt-= b(1+ tan2ϕ )= --b--- dϕ cos2ϕ

Einsetzen in das Ausgangsintegral ergibt

Vergleich mit Formel 3 zeigt, daß es sich hier um das unbestimmte elliptische Integral erster Art $a−1F(φ;k)$ handelt.⁵

LEGENDRE’sche Normalform mit Modulwinkel Manchmal wird das elliptische Integral erster Art auch über den sogenannten Modulwinkel $Θ$ , mit $k = sinΘ$ , angegeben.⁶

∫ φ dϕ F (φ; Θ)= ∘--------------- 0 1− sin2Θ sin2ϕ

2.1.2 Spezielle Werte

Der Funktionswert für $φ = 0$ ist trivial und direkt aus Definitionsgleichung 3 ersichtlich.

Für $φ = π∕2$ entartet die Funktion zum vollständigen elliptischen Integral erster Art $K (k)$ , wobei $k$ dann die Rolle des Arguments übernimmt (vgl. Abschnitt 2.2).

2.1.3 Spezielle Module

2.1.4 Funktionsverlauf

Abbildung 1: $F(φ;k)$ für verschiedene Module $k$

Zuerst sei auf Abbildung 1 verwiesen, die $F(φ;k)$ im Intervall $0≤ φ ≤ π ∕2$ darstellt. Relativ leicht nachzuweisen ist, daß $F(φ;k)$ eine ungerade Funktion ist.

Beweis. Mit der Substitution $− ϕ = ψ$ in der Definitionsgleichung des Integrals kann man schnell beweisen, daß $F(− φ;k)= − F(φ;k)$ gilt.

∫ ∫ −φ -----dϕ------ φ -----− dψ----- F(− φ; k)= ϕ=0 ∘ 2 2 = ψ=0∘ 2 2 = − F(φ; k) 1− k sin ϕ 1− k sin ψ

$F(φ;k)$ ist für alle $φ$ eine monoton steigende Funktion. Die Begründung liegt in Gleichung 16, der ersten Ableitung von $F(φ;k)$ . Für kleine Werte $k$ gilt $F(φ;k)≈ 2 φK (k) π$ , was sich direkt aus Abbildung 1 ablesen läßt, wenn man außerdem Gleichung 11 berücksichtigt.

Eine besondere Bedeutung im Zusammenhang mit den elliptischen Funktionen (Abschnitt 3) hat folgende Relation, die auch in Abbildung 2 erkennbar ist.

Abbildung 2: $F(φ;k)$ im Intervall $0≤ φ ≤ 4π$

Beweis. Sie ergibt sich, wenn man mit $n = 1$ beginnt und dann iterativ fortsetzt.

Außerdem ist Gleichung 14 eine logische Schlußfolgerung, wenn man wie gewohnt das Integral als Fläche unter der periodischen Kurve $2 2 −1∕2 (1− k sin ϕ)$ interpretiert (vgl. Abbildung 3).

Abbildung 3: Funktionsverlauf des Integranden $(1 − k2sin2ϕ)−1∕2$

Aus der zweiten Ableitung nach Gleichung 17 und dem Funktionsverlauf entsprechend Abbildung 2 ist ersichtlich, daß die Wendepunkte bei $υ ⋅π∕2$ mit $υ ∈ ℤ$ liegen.

2.1.5 Erste Ableitung

Das Differential von $F(φ;k)$ ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung⁷

2.1.6 Zweite Ableitung

2.1.7 Imaginäre Argumente

Beweis. Einsetzen des imaginären Arguments im Sinne von $φ = jξ$ in Definitionsgleichung 3 führt zu

∫ jξ --------dϕ-------- F(jξ ;k) = ϕ=0∘ ---------2---2--. 1 − (1 − k′ )sin ϕ

Mit der (im Intervall $|ϕ|≤ π∕2$ ) eindeutigen Substitution

sin ϕ = jtanθ

(19)

und deren Ableitung $d ϕ∕dθ = j∕ cosθ$ kann man das Differential $∘ ----------- dϕ ∕ 1− k2sin2 ϕ$ relativ einfach mit Hilfe des komplementären Moduls $k′$ ausdrücken.⁸

Schreibt man die rechte Seite von Gleichung 18 mit Hilfe der GUDERMANN-Funktion $gd ξ = arctan(sinhξ )$ , dann gilt entsprechend:

2.1 Unvollständiges elliptisches Integral erster Art

2.1.1 Definition