Wie schon erwähnt ist es besonders Differentialgleichung 69, welche bezüglich der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen eine zentrale Rolle spielt. Ihre äquivalente Schreibweise in der LEGENDRE’schen Normalform19 ergibt sich, wenn man wieder die Substitutionen und anwendet zu
wobei der sogenannte Multiplikator20 und sowie die Module sind.21
Es gilt also, eine Substitution zu finden, welche diese Äquivalenz erfüllt [Cay76, § 219], [Ach70, § 34], [Tod84, § 5].22 Man kann das Problem auch so formulieren: Gesucht sind die Integrale bzw. Lösungsfunktionen der gewöhnlichen (impliziten) Differentialgleichung 69 erster Ordnung:23
Das Finden der Integralkurve ist (wie so oft) nicht einfach, hat man aber zwei Transformationsfunktionen und gefunden, dann kann man durch aufeinanderfolgende Anwendung der entsprechenden Beziehungen auch mindestens eine dritte Transformation angeben.
Aus der letzten Gleichung wird sofort ersichtlich, daß der zugehörige Multiplikator das Produkt der beiden anderen Multiplikatoren und ist. Das Modul ist aus der Abhängigkeit von bekannt und kann durch die Beziehung auch als Funktion von ausgedrückt werden.
Außerdem enthält jede Transformation nach Formel 69 auch gleichzeitig eine “Rücktransformation”, wenn man die Umkehrfunktion nutzt. Zum besseren Verständnis (und aus Gründen der Lesbarkeit) soll , , , gesetzt werden, was und bedeutet.
Die Umkehrfunktionen (der Transformationsbeziehung als auch des Moduls ) enthalten also prinzipiell eine weitere Transformation, deren Multiplikator ist, wenn man im Sinne der eingeführten Größen die Richtung vertauscht.