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4.2 Problemstellung

Wie schon erwähnt ist es besonders Differentialgleichung 69, welche bezüglich der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen eine zentrale Rolle spielt. Ihre äquivalente Schreibweise in der LEGENDRE’schen Normalform19 ergibt sich, wenn man wieder die Substitutionen x = sinφ und y = sinθ anwendet zu

    Md θ             dφ
∘------2--2-- = ∘-----------,
  1 − λ sin  θ     1− k2sin2φ
(70)

wobei M der sogenannte Multiplikator20 und λ sowie k die Module sind.21

Es gilt also, eine Substitution θ = Ψ(φ;k)  zu finden, welche diese Äquivalenz erfüllt [Cay76, § 219], [Ach70, § 34], [Tod84, § 5].22 Man kann das Problem auch so formulieren: Gesucht sind die Integrale bzw. Lösungsfunktionen y= f (x;k)  der gewöhnlichen (impliziten) Differentialgleichung 69 erster Ordnung:23

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Das Finden der Integralkurve y = f(x;k)  ist (wie so oft) nicht einfach, hat man aber zwei Transformationsfunktionen f und g gefunden, dann kann man durch aufeinanderfolgende Anwendung der entsprechenden Beziehungen auch mindestens eine dritte Transformation angeben.

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Aus der letzten Gleichung wird sofort ersichtlich, daß der zugehörige Multiplikator das Produkt der beiden anderen Multiplikatoren M und L ist. Das Modul γ ist aus der Abhängigkeit von λ bekannt und kann durch die Beziehung λ = ρ(k)  auch als Funktion von k ausgedrückt werden.

Außerdem enthält jede Transformation nach Formel 69 auch gleichzeitig eine “Rücktransformation”, wenn man die Umkehrfunktion  −1
f  nutzt. Zum besseren Verständnis (und aus Gründen der Lesbarkeit) soll y1 = x= f−1(y)= f−1(x1)  , x1 = y , λ1 = k , k1 = λ gesetzt werden, was dy1 = dx und dx1 = dy bedeutet.

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Die Umkehrfunktionen (der Transformationsbeziehung y1 = f− 1(x1)  als auch des Moduls λ1 = ρ−1(k1)  ) enthalten also prinzipiell eine weitere Transformation, deren Multiplikator M −1  ist, wenn man im Sinne der eingeführten Größen die Richtung vertauscht.