Erste elliptische Haupttransformation, n ungerade

Charakteristisch für die 1. elliptische Haupttransformation ist, daß die reelle Periode $2Ω = 4M Λ$ von $y= g(u∕M; λ )$ genau $n$ -mal die reelle Periode $2 ω = 4K$ von $x = sn(u;k)$ teilt, die imaginären Perioden aber gleich sind ( $n$ -te Teilung der ersten Periode,⁴³ vgl. Fall $γ = n$ , $δ = 1$ in Abschnitt 4.5).

zeigt, daß es sich bei der Beziehung zwischen $λ$ und $k$ um eine Modulgleichung vom Grad $n$ handelt.⁴⁴

Den Verlauf für $x$ und $y$ im Bereich $− K ≤ u≤ K$ in Abhängigkeit vom Parameter $u$ zeigt Abbildung 13.

(a) $n$ ungerade (b) $n$ gerade

Abbildung 13: Verlauf für $x$ und $y$ im Intervall $− K ≤ u≤ K$

4.8.2 Funktionsverlauf

Für ungerades $γ = n$ muß die Integrationskonstante $C$ aus Abschnitt 4.5 verschwinden, damit $y$ auf Wegabschnitt $○2$ in Abbildung 8a reell ist.⁴⁵

Der zugeordnete Verlauf des Parameters $u$ ist für diesen Fall nocheinmal anschaulich in Abbildung 14 illustriert (inklusive der positiven Nullstellen und Pole), wobei fett dargestellte Gitternetzlinien reelle Werte des elliptischen Sinus’ kennzeichnen.

Er ist direkt aus dem Gitter in Abbildung 14 erklärbar, wenn man folgendes bedenkt:

4.8.3 Rationale Lösungsfunktion

Aus den wichtigsten Eigenschaften der Differentialgleichung 70 sowie der Transformationsfunktion, welche in Abschnitt 4.5 erarbeitet wurden, hat schon C.G.J. JACOBI in [Jac29] die folgende spezielle Form der rationalen Transformationsfunktion geschlußfolgert (vgl. auch [Cay76, § 229], [Ach70, § 40]).

( x2)( x2)( x2) 2 x 1− a22 1 − a24 1 − a26 ⋅⋅⋅ x n−1 1− xa2ν y = M-⋅ (1-−-k2a2x2)(1−-k2a2x2)(1−-k2a2x2)⋅⋅⋅-= M- ∏ 1−-k2a2x2 2 4 6 ν=2,4,6,... ν

(125)

4.8.4 Nullstellen (Koeffizienten)

Offen ist unter anderem die Bestimmung der Koeffizienten $a i$ , welche sowohl zur Berechnung von $M$ als auch $λ$ benötigt werden. Dazu muß man sich über die Lage und Anzahl der Nullstellen in Gleichung 125 klar werden.

Die Koeffizienten $aν$ der rationalen Transformationsgleichung 125 sind nun folgendermaßen bestimmt

Beweis. Kennt man die Nullstellen $x∘ν$ von Gleichung 125, dann kennt man auch die Koeffizienten $aν$ darin.⁴⁸

aν = x∘ν, ν = 2,4,6,...,n− 1

Die reellen Nullstellen, die alle im Bereich $|x| < 1$ bzw. $|u |< K$ liegen, ergeben sich aus der elliptischen Parameterdarstellung für $y$

sowie der für $x$ in Verbindung mit den Periodenbeziehungen.

4.8.5 Polstellen

Die $n− 1$ reellen Pole ermitteln sich nun recht einfach, wenn man in Gleichung 125 die Produktterme des Nenners Null setzt.

Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn die elliptische Darstellung mittels Gleichung 76 und 77 als Ausgangspunkt genommen wird. Die Pole liegen dann offensichtlich auf dem Wegabschnitt $○3$ laut Abbildung 14 bzw. Tabelle 5, und zwar bei $′ u×ν = K+ jK + νK ∕n$ .

4.8.6 Extremwerte

Beweis. Die Bestimmung der Extremwerte kann (wie üblich) mit Hilfe der ersten Ableitung von $y = f(x;k)$ erfolgen. Bedenkt man aber, daß $y= f(x;k)$ ja die Lösung der Differentialgleichung 69 ist, dann kann man mit Blick auf Formel 71 sofort zur Bestimmung der Nullstellen von $dy∕dx$ übergehen.

dy 1 cn( uM-;λ )dn( uM;λ ) dx = M-⋅-cn(u;k)dn(u;k)--= 0.

Die Kombination der Nullstellen von $cn(u∕M; λ)$ und $dn(u∕M;λ )$ führt nach Tabelle 1 für $u$ zu den Extremstellen

Berücksichtigt man die Ausprägungen des elliptischen Sinus’ für spezielle Argumente nach Tabelle 2, dann kann der Beweis abgeschlossen werden.

4.8.7 Beziehungen für die elliptischen Funktionen

Transformationsbeziehung für $sn$ Die Transformationsbeziehung bei Verwendung des elliptischen Sinus’ ist direkt in Gleichung 125 enthalten, wenn man $x$ und $y$ entsprechend der Beziehungen 76 und 77 ersetzt.

1− --sn2(u;k)- -u sn(u;k)- n−1 -------sn2(νK-∕n;k)---- sn(M ;λ)= M ∏ 1− k2sn2(νK-;k)sn2(u;k) ν=2,4,6,... n

(129)

Aus der letzten Darstellung der Transformationsbeziehung läßt sich auch die Linearfaktorzerlegung mit Hilfe der Pol- und Nullstellen gewinnen.

Weitere interessante Darstellungen der Transformationsbeziehung 129 ergeben sich bei Vorwegnahme von Gleichung 138

Transformationsbeziehung für $cn$ Die Beziehungen für $cn$ und $dn$ können z. B. abgeleitet werden, indem man die Pole und Nullstellen der (ebenfalls) rationalen Polynome $2 2 cn(u∕M; λ) = 1− y$ und $2 2 2 dn (u∕M;λ )= 1 − λ y$ ermittelt. Beide Funktionen haben die gleichen Pole, wie der elliptische Sinus $y = sn(u ∕M;λ )= U (x)∕V (x)$ für diesen Fall.

Zur Bestimmung der Linearfaktoren des Zählers wird zuerst der elliptische Cosinus $cn (u∕M; λ)$ betrachtet, dessen Nullstellen bei $(2ν + 1)M Λ = (2ν + 1)K ∕n$ mit $ν ∈ℤ$ liegen. An diesen Stellen nimmt $x$ nach Gleichung 76 die Werte $sn[(2ν+ 1)K ∕n;k]$ an. Da der Grad des Zählerpolynoms genau dem von $y$ entspricht läßt sich folgende Linearfaktordarstellung angeben, die abgesehen vom Vorfaktor $A$ eindeutig bestimmt ist.

Wegen der Symmetrie $sn(K − u;k)= sn(K +u;k)$ und der Spiegelungsbeziehung $sn(2K − u;k) = − sn(2K + u;k)$ kann man den Zähler vereinfachen.

Aus dem schon bekannten Funktionswert $y = f(0;k)= 0$ entsprechend Abschnitt 4.5, Formel 82 kann man abschließend den Vorfaktor $A$ ermitteln

n− 2 sn2(u;k) ∏ 1− sn2(μK-∕n;k) cn( uM;λ) = cn(u;k)---μ=1,3,5,...------------------ n−∏1 1− k2sn2 (ν K;k)sn2(u;k) ν=2,4,6,... n

(130)

Transformationsbeziehung für $dn$ Für $dn$ kann man in gleicher Art und Weise verfahren, also beginnend mit der Bestimmung der Nullstellen. Wegen $dn(v+ jK ′;k)= − jcs(v;k)$ nach Tabelle 3 liegen die Nullstellen (bezüglich $u$ ) bei $(2ν + 1)M Λ + jM Λ ′ = (2ν+ 1)K∕n + jK ′$ mit $ν ∈ ℤ$ . Da aber (vgl. ebenfalls Tabelle 3) für $sn$ die Beziehung $sn(v+ jK ′;k)= k− 1ns(v;k)$ gilt, nimmt $x$ an den Nullstellen die Werte $k−1ns [(2ν +1 )K ∕n;k]$ an. Nun ist man (wie beim elliptischen Cosinus auch) in der Lage eine entsprechende Linearfaktordarstellung anzugeben.

Aus dem Funktionswert $y= 0$ an der Stelle $x= 0$ kann man wieder den Vorfaktor bestimmen.

n−∏2 1 − k2sn2(μ K;k)sn2(u;k) u- μ=1,3,5,...----------n----------- dn(M ;λ)= dn(u;k) n−1 ( ) . ∏ 1 − k2sn2 ν Kn;k sn2(u;k) ν=2,4,6,...

(132)

4.8.8 Der Multiplikator $M$

Mit dem Funktionswert $y = (− 1)(n−1)∕2$ an der Stelle $x = 1$ kann man den Multiplikator $M$ in Gleichung 125 recht einfach bestimmen (vgl. auch allgemeine Aussagen in Abschnitt 4.5, Formel 82).

Mit der Formel für die Koeffizienten $aν$ ergeben sich neue Darstellungsmöglichkeiten sowohl für $M$ als auch $λ$ . Dazu soll mit Hilfe der Verschiebungsrelation $sn (K − u;k)= cd(u;k)$ nach 3 zuerst der folgende (mehrfach auftretende) Term vereinfacht werden.

Jetzt kann ausgehend von Gleichung 133 der Multiplikator $M$ konkretisiert werden.

n∏−2 sn2(μ K;k) n−1 -1- -1−-a2ν-- μ=1,3,5,...------n--- M = ∏ a2 ⋅1− k2a2 = n−1 ( ) ν=2,4,6,... ν ν ∏ sn2 ν Kn;k ν=2,4,6,...

(135)

4.8.9 Das Modul $λ$

Aus der Eigenschaft der Unveränderlichkeit von Differentialgleichung 69 für $x:= 1∕kx$ und $y := 1∕λ y$ nach Formel 81 kann man das Modul $λ$ ermitteln.

Beweis. Dazu geht man wieder von Gleichung 125 aus und nimmt darin die entsprechenden Substitutionen vor.

1 1 n−1 1− k2a12x2 ---= --- ∏ ----aν2-- λy kM ν=2,4,6,... 1− -νx2

Da auch hier die Bedingung $(n−1)∕2 y = f(1;k)= (− 1)$ erfüllt sein soll (vgl. spezielle Werte nach Formel 82), kann man, wenn Gleichung 133 hinzugenommen wird, schreiben

Setzt man nun die Darstellung für $M$ nach Formel 135 in Gleichung 137 ein, dann erhält man recht schnell eine Darstellung für $λ$ , die nur noch von den Koeffizienten $aν$ abhängt. Dazu werden Zähler und Nenner außerdem mit mit $k2a2 ν$ multipliziert und dann mittels $k∏n−1 k2 = kn ν=2,4,6,...$ weiter vereinfacht.

Wie auch in [Jac29, § 23] dargestellt, führt (unter Zuhilfenahme von Formel 134) Einsetzen der Koeffizientenbeziehung 126 zu der folgenden bekannten Form für $λ$ :

n−2 n−1 λ = kn sn4(ν K;k)= M2kn sn4(νK-;k) . ν=∏1,3,5,... n ν=∏2,4,6,... n

(138)

4.8.10 Das komplementäre Modul $λ ′$

Die Beziehung zwischen den komplementären Modulen kann direkt aus Gleichung 132 abgelesen werden, wenn man dort den speziellen Wert $u = K$ (also $′ dn(nΛ;λ)= λ$ ) einsetzt.

Mit $′ dn(K− u;k)= knd(u;k)$ kann man diese Relation bei entsprechender Umindizierung sogar noch weiter vereinfachen.

4.8 Erste elliptische Haupttransformation, n ungerade

4.8.1 Periodenbeziehungen