Transformationen erster Ordnung

4.6 Transformationen erster Ordnung

Eine tabellarische Übersicht der Transformationen erster Ordnung sowie der geeigneten Substitutionen ist unter anderem in [Tri48, lV, § 2] zu finden. Wir beschränken uns hier auf zwei wichtige Transformationen – JACOBI’s reelle sowie imaginäre Transformation.

4.6.1 Imaginäre Transformation

Die imaginäre Transformation wurde in Bezug auf das elliptische Integral erster Art schon in Abschnitt 2.1, für den elliptischen Sinus in Abschnitt 3.10 behandelt. Um die Parameter $M$ und $λ$ aus der allgemeinen Gleichung 70 zu ermitteln, ist ein Blick auf Beziehung 18 notwendig.

F (φ; k)= jF[arctan(sinhjφ);k′]

Diese Gleichung ist nun der folgenden speziellen Ausprägung von Differentialgleichung 70

∘----dφ------= j∘----dθ------ 2 2 1 − k′2sin2 θ 1 − k sin φ

(87)

mit der Substitution nach Gleichung 19

äquivalent. Aus der spezifischen Beziehung 87 kann man durch Vergleich mit Differentialgleichung 70 sofort den Multiplikator und die zugeordnete Modulgleichung (vom Grad Eins) ablesen.

Die Bestimmung des Periodenverhältnisses ist mit diesen Werten kein Problem mehr.

′ ′ K--= K-(k) = K-(λ-)-= Λ- K ′ K (k′) K (λ) Λ

(90)

Die rationale Beziehung zwischen $x$ und $y$ ist schon in der Substitution 19 enthalten, wenn man (wie immer) Gleichung 76 sowie 77 berücksichtigt.

4.6.2 Reelle Transformation

JACOBI’s reelle Transformation nach folgender Gleichung

1- ( 1) sn(u;k)= k sn ku;k

(91)

ermöglicht es, bei allen elliptischen Funktionen auch Module $k> 1$ zuzulassen.

Beweis. Ausgehend vom Argument des Integrals $F(φ;k)$

∘----dφ------- 1− k2sin2φ

nimmt man die Substitution $sin θ = k sinφ$ , welche ja eine algebraische Beziehung erster Ordnung, nämlich $y = kx$ verkörpert, vor. Mit der Ableitung $dθ∕dφ = kcosφ ∕cosθ$ erhält man wieder die typische Differentialgleichung

aus welcher nur noch die Parameter $M$ und $λ$ konform zu Gleichung 70 abgelesen werden müssen. __

Beweis. Mit den allgemeinen Beziehungen 76 und 77 sowie der vorgenommenen Substitution $sinφ = k−1sinθ$ ist der abschließende Beweis möglich.

sn(u;k) = sinφ = sinθ-= 1sn( u;λ) = 1sn(ku;1) k k M k k