Elliptische Integrale

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2 Elliptische Integrale

Elliptische Integrale sind Integrale der Form $∫ R(w,x)dx$ , wobei $R$ eine rationale Funktion von $w$ und $x$ , $w2$ dagegen eine kubische oder biquadratische Funktion von $x$ ist.³ Alle diese Parameterintegrale lassen sich auf drei Grundformen reduzieren, die man das LEGENDRE’sche Normalintegral erster Art $F(φ;k)$ , zweiter Art $E(φ;k)$ und dritter Art $Π (φ; k;n)$ nennt [AS72, 17.4.41 ff.], [Tri48, II, § 3], [Hur00, II-6, § 2].

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Der allen gemeinsame Parameter $k$ wird Modul genannt. Außerdem ist mit

∘ ------ k′ = 1− k2

(1)

ein komplementäres Modul definiert. Als hilfreich erweisen sich in vielen Fällen auch die binomischen Darstellungen des Moduls.

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2.1 Unvollständiges elliptisches Integral erster Art
  2.1.1 Definition
  2.1.2 Spezielle Werte
  2.1.3 Spezielle Module
  2.1.4 Funktionsverlauf
  2.1.5 Erste Ableitung
  2.1.6 Zweite Ableitung
  2.1.7 Imaginäre Argumente
2.2 Vollständiges elliptisches Integral erster Art
  2.2.1 Definition
  2.2.2 Spezielle Werte
  2.2.3 Funktionsverlauf
  2.2.4 GAUSS-Form