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3.1 Definition

Die Definition der JACOBI’schen elliptischen Funktionen ist eng verknüpft mit der Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art u = F(φ;k)  in seiner LEGENDRE’schen Normalform nach Gleichung 3, der sogenannten Amplitudenfunktion.

φ = am(u;k).
(29)

Mit Hilfe von am (u;k)  können die drei elliptischen Basisfunktionen Sinus Amplitudinis sn  , Cosinus Amplitudinis cn  und Delta Amplitudinis dn  folgendermaßen angegeben werden [Jac29, § 17]:

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Nahezu direkt ablesbar sind die wichtigen Beziehungen:

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Über das komplementäre Modul  ′  √ ----2-
k =   1 − k  sind weitere nützliche Identitäten zu ermitteln.

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Gleichung 30 läßt nun auch die folgende neue Darstellung des unvollständigen elliptischen Integrals entsprechend Definitionsgleichung 5 zu.

            ∫ sn(u;k)       dt
u = F⋆(x;k)=         ∘------2-----2-2-
             0        (1− t )(1− k t )
(37)

Von den drei Basisfunktionen sind alle weiteren JACOBI’schen elliptischen Funktionen folgendermaßen abgeleitet:9 die mit den Buchstaben pq abgekürzte Funktion ist definiert als der Quotient der Basisfunktionen p und q. Dabei können p und q mit folgenden Buchstaben besetzt sein: s (sn  ), c (cn  ), d (dn  ), n (1), was zu 9 Varianten führt.

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