Die Definition der JACOBI’schen elliptischen Funktionen ist eng verknüpft mit der Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art in seiner LEGENDRE’schen Normalform nach Gleichung 3, der sogenannten Amplitudenfunktion.
Mit Hilfe von können die drei elliptischen Basisfunktionen Sinus Amplitudinis , Cosinus Amplitudinis und Delta Amplitudinis folgendermaßen angegeben werden [Jac29, § 17]:
Nahezu direkt ablesbar sind die wichtigen Beziehungen:
Über das komplementäre Modul sind weitere nützliche Identitäten zu ermitteln.
Gleichung 30 läßt nun auch die folgende neue Darstellung des unvollständigen elliptischen Integrals entsprechend Definitionsgleichung 5 zu.
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Von den drei Basisfunktionen sind alle weiteren JACOBI’schen elliptischen Funktionen folgendermaßen abgeleitet:9 die mit den Buchstaben pq abgekürzte Funktion ist definiert als der Quotient der Basisfunktionen p und q. Dabei können p und q mit folgenden Buchstaben besetzt sein: s (), c (), d (), n (1), was zu 9 Varianten führt.