Anderung des Arguments

In diesem Abschnitt sollen noch einige Formeln für den Übergang auf andere Argumente genannt (und teilweise auch abgeleitet) werden. Eine komprimierte Übersicht zu den interessanten Fällen enthält Tabelle 3, eine vollständige Tabellierung für alle elliptischen Funktionen ist in [AS72, 16.8] zu finden.

Tabelle 3: Elliptische Funktionen bei Änderung des Arguments


$v =$	$sn(v;k)$	$cn(v;k)$	$dn(v;k)$


$− u$	$− sn(u;k)$	$cn(u;k)$	$dn(u;k)$

$u+ K$	$cn(u;k)- dn(u;k)$	$− k′sn(u;k) dn(u;k)$	$--k′--- dn(u;k)$

$u− K$	$cn(u;k)- − dn(u;k)$	$′sn(u;k) kdn(u;k)$	$--k′--- dn(u;k)$

$K − u$	$cn(u;k) dn(u;k)-$	$′sn(u;k) kdn(u;k)$	$k′ dn(u;k)-$

$u + 2K$	$− sn(u;k)$	$− cn(u;k)$	$dn(u;k)$

$u − 2K$	$− sn(u;k)$	$− cn(u;k)$	$dn(u;k)$

$2K − u$	$sn(u;k)$	$− cn(u;k)$	$dn(u;k)$

$′ u + jK$	$---1---- ksn(u;k)$	$-dn(u;k)- − jksn(u;k)$	$cn(u;k)- − jsn(u;k)$

$u+ 2jK′$	$sn(u;k)$	$− cn(u;k)$	$− dn(u;k)$

$′ u+ K + jK$	$dn(u;k) kcn(u;k)$	$k′ − jkcn(u;k)$	$′sn(u;k) jk cn(u;k)-$

$u+ 2K + 2jK ′$	$− sn(u;k)$	$cn(u;k)$	$− dn(u;k)$

$u+ 4K + 4jK ′$	$sn(u;k)$	$cn(u;k)$	$dn(u;k)$

Alle Formeln in Tabelle 3 ergeben sich direkt aus den Additionstheoremen 40, 45 und 46 sowie den Gleichungen für komplexe Argumente, wenn man jeweils die um $K$ bzw. $K′$ verschobenen Argumente betrachtet. Aus den Beziehungen in Tabelle 3 für die gilt $sn(u+ 2ω )= snu$ (beispielhaft für $sn$ ), ist sofort die reelle, imaginäre und komplexe Periode der elliptischen Basisfunktionen ersichtlich (siehe Tabelle 4 sowie Abbildungen 6 und 7).

Tabelle 4: Perioden der elliptischen Basisfunktionen [AS72, 16.2]


	Reelle	Imaginäre	Komplexe


Funktion	Periode


$sn$	$4K$	$2jK′$	$4K + j4K′$

$cn$	$4K$	$4jK′$	$2K + j2K′$

$dn$	$2K$	$4jK′$	$4K + j4K′$

Folgende spezielle (komplexe) Werte ergeben sich außerdem aus verschiedenen Fällen in Tabelle 3.

3.12 Änderung des Arguments