Kenngroßen

2.3 Kenngrößen

2.3.1 Erwartungswert

Konsequent kann man auch die Definition des Erwartungswertes einer $n$ -dimensionalen Zufallsgröße aus dem der eindimensionalen Größe ableiten, wenn man außerdem Gleichung 17 bzw. den Ideenkreis um sie herum, berücksichtigt [Gne58, § 25 ff.].

∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞ E(Xi)= ⋅⋅⋅ xipX(x1,x2,...,xn)dxn...dx2dx1 1 ≤ i≤ n −∞ −∞ −∞

Man muß allerdings hinzufügen, daß es sich um den Erwartungswert der Randverteilung für $Xi$ handelt. Praktisch ergibt sich dadurch ein Erwartungswerte-Vektor.

( ) E(X1) || || | E(X2) | || ... || E(Xi)= || || || E(Xi) || |( ... |) E(Xn)

2.3.2 Varianz

Die Varianz(en) einer $n$ -dimensionalen Zufallsgröße können aus der allgemeinen Definitionsgleichung 2 in Verbindung mit dem Erwartungswert (von eben) ermittelt werden.

Var(Xi)= E[Xi− E(Xi)]2 1 ≤ i≤ n

Auch hier muß man hinzufügen, daß es sich um die Varianz einer Randverteilung handelt.

2.3.3 Kovarianz

Sind $X1$ und $X2$ zwei (nicht notwendigerweise unabhängige) Zufallsgrößen, dann nennt man die folgende Größe Kovarianz von $X1$ und $X2$ .

Cov(X1,X2)= E {[X1− E(X1)][X2 − E(X2)]}

(23)

Die Kovarianz $Cov(X1,X2)$ kann auch noch anders ausgedrückt werden (Verschiebungssatz), wenn man

die Formeln 43 und 50 für den Erwartungswert von Produkten bzw. Summen von Zufallsgrößen berücksichtigt;
bedenkt, daß $E(X1)$ und $E (X2)$ quasi konstante Faktoren sind;
die Trivialität $E(1)= 1$ anwendet.

Ist eine der beiden Zufallsgrößen mittelwertfrei, dann entspricht die Kovarianz dem Erwartungswert des Produktes der beiden Größen.

Cov(X1,X2)EXi==0E(X1X2), i= 1,2

(25)

Unter diesen Bedingungen spricht man auch von der Korrelation beider Zufallsgrößen (vgl. Abschnitte 3.4 und 4).

Im Fall $X = X1 = X2$ entartet die Kovarianz zur Varianz (siehe Formel 11).

Cov(X ,X )= Var(X)

Für kontinuierliche Zufallsgrößen kann die Kovarianz wiefolgt konkretisiert werden:

∫ ∞ ∫ ∞ Cov (X1,X2 )= [x1− E(X1)][x2− E(X2)]pX(x1,x2)dx1dx2 −∞ −∞

(26)

Dabei geht man davon aus, daß der Vektor $X = (X1,X2)$ eine zweidimensionale Zufallsgröße mit der Dichtefunktion $p (x1,x2)$ ist. Sind die Zufallsgrößen $X1$ und $X2$ stochastisch unabhängig, dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte faktorisierbar in

pX(x1,x2) = p1(x1)p2(x2)

und deshalb auch das Doppelintegral von Gleichung 26.

Wegen der allgemeingültigen Beziehung

verschwinden aber beide Faktoren, d. h. die Kovarianz (und der Korrelationskoeffizient) unabhängiger Zufallsgrößen ist grundsätzlich Null. Aus Gleichung 24 folgt unter dieser Bedingung ferner:

Cov(X ,X )=0 E(X1X2) 1= 2 E(X1)E(X2),

(27)

was als Kriterium unkorrelierter Zufallsgrößen in seiner Umkehrung ebenfalls verwendbar ist.

2.3.4 Varianz-Kovarianz-Matrix

Für einen mehrdimensionalen Zufallsvektor $X = (X1,X2,...,Xn)$ kann man eine sogenannte Varianz-Kovarianz-Matrix $C$ angeben,

ci,k = Cov (Xi,Xk)= E {[Xi− E (Xi)][Xk − E(Xk)]}

deren Elemente $ci,k$ die Kovarianz zwischen der Zufallsgröße $Xi$ und $Xk$ repräsentieren.

( ) | Var(X1) Cov(X2,X1) ⋅⋅⋅ Cov(Xn,X1) | | Cov(X1,X2) Var(X2) ⋅⋅⋅ Cov(Xn,X2) | C = || .. .. .. .. || ( . . . . ) Cov(X1,Xn) Cov(X2,Xn) ⋅⋅⋅ Var(Xn)

Die Matrix $C$ ist

quadratisch,
symmetrisch (wegen $Cov(Xi,Xk) = Cov(Xk,Xi)$ ),
und hat die Hauptdiagonalwerte $Cov(Xi,Xi) = Var(Xi)$ .

2.3.5 Korrelationskoeffizient

Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Abhängigkeit zweier Zufallsgrößen.¹¹

Corr(X ,X )= ∘--Cov-(X1,X2)--- 1 2 Var(X1)Var(X2)

(28)

Zu den Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:

Wegen der Ungleichung $-------------- |Cov (X1,X2)|≤ √ Var(X1)Var(X2)$ gilt immer: $− 1≤ Corr(X1,X2)≤ +1$ .
Linear abhängige Zufallsgrößen ( $X2 = aX1 +b )$ führen immer zu: $Corr(X1,X2)= ±1$ .
Von unkorrelierten Zufallsgrößen spricht man, wenn der Korrelationskoeffizient identisch Null ist: $Corr(X1,X2) = 0$ .¹²

Für mittelwertfreie Zufallsgrößen reduzieren sich Kovarianz und Varianz entsprechend der Formeln 27 und 13 auf $Cov (X1,X2) = E(X1X2)$ und $2 ~2 Var(X) = E(X )= X$ und deshalb der Korrelationskoeffizient auf

Corr(X1,X2) EX=i=0 ∘--E(X1X2)---. E(X21)E (X 22)

(29)