Produkt von Zufallsgroßen

3.4 Produkt von Zufallsgrößen

3.4.1 Wahrscheinlichkeitsdichte

Um die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Produkts von zwei Zufallsgrößen $Y = X1X2$ zu bestimmen, interpretieren wir dieses Produkt wieder als Funktion $f (X1,X2)$ . Da wir auch hier nur eine Ergebnisgröße, nämlich $Y$ , haben, müssen wir die Darstellung $Y = f(X )$ wieder “künstlich” erzeugen. Dazu benennen wird $Y$ in $Y = f (X ,X ) = X X 1 1 1 2 1 2$ um und definieren eine zweite Funktion $Y2 = f2(X1,X2)= X1∕X2$ .

Auch diesmal ermitteln wir zuerst die Umkehrfunktionen $h(Y)$ , beschränken uns aber auf die positiven Werte von $X1$ und $X2$ sowie positive Radikanden.

Den Absolutwert der zugehörigen Funktionaldeterminante

| | | ∘ --- ∘ --- | ||∂-h1(y-) ∂h1(y) || || y2 y1 || || ∂y1 ∂y2 || 1-|| y1 y2 || -1- Jh = |∂ h2(y ) ∂h2(y) |= 4 | 1 ∘ y1-|= − 2y2 ||--∂y-- -∂y--- || || √y-y-- − y3 || 1 2 1 2 2

wenden wir wieder auf Gleichung 37 an.

p (x ,x ) 1 ( √---- ∘ y-) pY(y1,y2)= |Jh|pX(x1,x2) = -X--1--2-= ---pX y1y2, -1 2y2 2y2 y2

Da die Zufallsgröße $Y2$ auch hier nicht von Interesse ist, müssen wir sie wieder “ausblenden”, d. h. aus der verbundenen Dichtefunktion $pY(y1,y2)$ die (eindimensionale) Randdichte von $Y1$ berechnen. Dabei benennen wir auch gleich wieder $Y1$ in $Y$ um.

∫ ∞ ∫ ∞ 1 ( √ ---∘ -y) pY(y)= pY(y,y2)dy2 = ---pX yy2, -- dy2 −∞ −∞ 2y2 y2

Die abschließende Substitution $z= √yy2-$ , d. h. $√---- y∕y2 = y∕z$ und $√ ---- 2dz= dy2 y∕y2 = y∕zdy2$ ergibt:

∫ ( )
∞ z 1- y
pY(y) = −∞ y ⋅ y2 pX z, z dz
∫ ∞
= z−1pX (z,y∕z)dz.
−∞

Für die Wahrscheinlichkeitsdichte des Produktes zweier (abhängiger) Zufallsgrößen gilt also:

∫ ∞ p (z,y∕z) pY (y) = -X------dz. −∞ z

(47)

Sind $X1$ und $X2$ stochastisch unabhängig, d. h. es gilt $pX (x1,x2)= p1(x1)p2(x2)$ , so vereinfacht sich Formel 47 zu:

∫ p (y)= ∞ p1(z)p2(y∕z)dz. Y −∞ z

(48)

3.4.2 Erwartungswert

Den Erwartungswert von $Y$ kann man nach der Formel 39 bestimmen. Dazu setzt man als Funktion $f(X1,X2)= X1X2$ und erhält für den allgemeinen Fall abhängiger Zufallsgrößen:

∫ ∞∫ ∞ E(X1X2) = x1x2pX(x1,x2)dx2dx1. −∞ − ∞

(49)

Sind $X 1$ und $X 2$ stochastisch unabhängig, d. h. es gibt die Zerlegung $p (x ,x )= p (x )p (x ) X 1 2 1 1 2 2$ , dann kann man weiter vereinfachen

∫ ∞ ∫ ∞
E(X1X2) = −∞ −∞ x1x2p1(x1)p2(x2)dx2dx1
∫ ∞ ∫ ∞
= x1p1(x1)dx1 ⋅ x2p2(x2)dx2
−∞ − ∞

und erhält als Ergebnis:

E (X X )= E(X )E (X ). 1 2 1 2

(50)

Verschwindet der Erwartungswert des Produkts sogar überall ( $E(X1X2)= 0$ ), dann werden die beiden Zufallsgrößen als orthogonal zueinander bezeichnet.

3.4.3 Varianz

In einer ganz allgemeinen Darstellung führt das Einsetzen von Gleichung 47 in die Formel 10 der Varianz zu:

∫ Var(Y)= ∞ y2p(y)dy − E2(Y). − ∞

Eine weitere Vereinfachung scheint hier ohne genaue Kenntnis von $p(y)$ nicht möglich — allerdings kann man für stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit Hilfe von Formel 48 (und der Substitution $w = y∕u$ ) noch einen Schritt weiter gehen:

Nimmt man die Definition der Varianz nach Formel 11 hinzu, dann ist die folgende Darstellung gleichwertig:

Var(X1X2)= E(X21)E(X22) − E2 (X1)E2 (X2).

(51)

Für mittelwertfreie Zufallsgrößen ( $E(X) = 0$ ) geht es dann sogar noch etwas einfacher:

Var(X1X2) = Var(X1)Var(X2)= E(X2)E(X 2). 1 2

3.4.4 Effektivwert

Ausgehend von Gleichung 12 kann der Effektivwert (bei stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen) durch Einsetzen der Formeln 50 und 51 leicht ermittelt werden.

Das Ergebnis ist entsprechend wenig überraschend: