Definition und Eigenschaften

2.1 Definition und Eigenschaften

Ein Vektor $X = (X1,X2,...,Xn)$ wird $n$ -dimensionale Zufallsgröße genannt, wenn jede der Einzelgrößen $Xk$ eine Zufallsgröße (über der gleichen Ereignisalgebra⁸ ) ist. Die verbundene bzw. gemeinsame Verteilungsfunktion des Zufallsvektors $X$

FX(x1,x2,...,xn)= Pr(X1 < x1,X2 < x2,...,Xn < xn)

liefert zu jedem Tupel $(x1,x2,...,xn)$ die Wahrscheinlichkeit $Pr[(X1 < x1)∩ (X2 < x2)∩ ⋅⋅⋅∩ (Xn < xn)]$ .

Der Zusammenhang zwischen Dichte- und Verteilungsfunktion hat auch für den Fall einer mehrdimensionalen Zufallsgröße Bestand, nur daß die Wahrscheinlichkeitsdichte $pX (x1,x2,...,xn)$ ebenfalls mehrdimensional ist. Für kontinuierliche Zufallsgrößen gibt sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß $X$ im differentiellen Intervall $(x ± dx ∕2,x ± dx ∕2,...,x ± dx ∕2) 1 1 2 2 n n$ liegt. Integration dieser infinitesimalen Wahrscheinlichkeiten von $− ∞$ bis $x$ ergibt dann wieder die Verteilungsfunktion von $X$ .

∫ x ∫ x ∫ x FX(x1,x2,...,xn)= 1 2⋅⋅⋅ n pX(u1,u2,...,un)dun⋅⋅⋅du2du1 −∞ −∞ −∞

(17)

Umgekehrt läßt sich durch partielle Differentiation nach allen $xi$ daraus die Dichtefunktion ermitteln.

p (x ,x,...,x) = ∂nFX(x1,x2,...,xn)- X 1 2 n ∂x1∂x2⋅⋅⋅∂xn

(18)

Ähnlich zum eindimensionalen Fall lassen sich deshalb die folgenden Eigenschaften von $FX(x1,x2,...,xn)$ feststellen:

Für alle $xi$ (mit $1 ≤ i≤ n$ ) gilt: $0 ≤ FX(x1,x2,...,xn)≤ 1$ .
Es existiert der Grenzwert $lim F (x ,x ,...,x )= lim F (x,x ,...,x )= ⋅⋅⋅= lim F (x ,x ,...,x) = 0 x1→−∞ X 1 2 n x2→−∞ X 1 2 n xn→ −∞ X 1 2 n$ .
Für $x1,x2,...,xi−1,xi+1,...,xn → ∞$ (d. h. alle, außer $xi$ ) entartet $FX(x1,x2,...,xn)$ zu einer eindimensionalen Randverteilung $Fi(xi)$ , die nur noch von $xi$ abhängt und die Wahrscheinlichkeit $Pr(Xi < xi)$ ausdrückt.⁹

Partielle Differentiation der Randverteilung $Fi(xi)$ nach $xi$ führt zur (Rand-) Wahrscheinlichkeitsdichte.
$∂Fi(xi) ∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞ pi(xi)= ------ = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ pX (x1,x2,...,xn)dxn⋅⋅⋅dxi+1dxi−1⋅⋅⋅dx2dx1 ∂xi −∞ −∞ −∞ −∞$

Für den zweidimensionalen Fall ( $n= 2$ ) lassen sich die Gleichungen folgendermaßen konkretisieren: