Diskrete Zufallsgroßen

1.1 Diskrete Zufallsgrößen

Bei den diskreten Zufallsgrößen geht man davon aus, daß es eine Zufallsgröße $X$ gibt, die $N$ verschiedene diskrete Werte $xi$ annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Wert $xi$ angenommen wird, soll $pi = Pr(X = xi)$ betragen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß $X$ irgendeinen der Werte $xi$ annimmt ist folgerichtig das sichere Ereignis.

N ∑ pi = 1 i=1

Der Erwartungswert $E(X)$ ergibt sich aus der Wichtung aller Werte $xi$ mit der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens.¹

N E (X )= pixi ∑i=1

(1)

Die Varianz $Var(X)$ ist der Erwartungswert der quadratischen Abweichung vom Erwartungswert. Sie ist dadurch ein gutes Maß für die Streuung der Zufallsgröße $X$ um ihren Erwartungswert.²

2 Var(X )= E[X − E(X)]

(2)

Speziell für den Fall diskreter Zufallsgrößen hat sie die folgende Berechnungsvorschrift:

N Var(X)= ∑ pi[xi− E (X )]2 i=1

(3)

Für mittelwertfreie Zufallsgrößen, d. h. Zufallsgrößen für die $E(X) = 0$ gilt, ergibt sich

N Var(X)= ∑ pix2i. i=1

Kann $X$ nicht mehr nur diskrete, sondern unendlich viele verschiedene Werte $x$ annehmen, dann kommt man zu kontinuierlichen Zufallsgrößen.³