Kontinuierliche Zufallsgroßen

1.2 Kontinuierliche Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße $X$ kann in diesem Fall unendlich viele Werte $x$ aus einem endlichen oder unendlichen Intervall annehmen.⁴ Bezieht man sich auf Grenzwerte bzw. infinitesimal große Intervalle, so kann man ausgehend von den diskreten Zufallsgrößen den Quantifizierungsbegriff der Wahrscheinlichkeit erweitern.

( dx dx ) p(x)= Pr x− -- ≤ X ≤ x+ -- 2 2

Die (jetzt) kontinuierliche Größe $p$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Zufallsgröße $X$ einen Wert $x$ in der Umgebung $dx$ annimmt. Dadurch erhält $p$ differentiellen Charakter, weshalb $p(x)$ auch als Dichtefunktion bezeichnet wird. Die Wahrscheinlichkeit $Pr$ , daß $X$ einen Wert innerhalb eines Intervalls $[a,b]$ annimmt, muß nun durch Integration bestimmt werden.

∫ b Pr(a≤ X ≤ b) = p(x)dx a

(4)

Wie bei den diskreten Zufallsgrößen muß die Wahrscheinlichkeit, daß $X$ einen Wert im Intervall $(− ∞,∞ )$ annimmt, Eins sein.

∫ ∞ p(x)dx= 1 −∞

(5)

Wegen der Notwendigkeit in Gleichung 4 zu integrieren, wird oft die sogenannte Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsgröße $X$ angegeben.

∫ x Pr(− ∞ ≤ X ≤ x)= Pr(X ≤ x)= F (x)= −∞ p(u)du

(6)

Man kann sich die Verteilungsfunktion nach dieser Formel auch als infinitesimale Addition aller Einzelwahrscheinlichkeiten $p(x)$ von $− ∞$ bis $x$ vorstellen, also in “Summe” $Pr(X ≤ x)$ . $F(x)$ ist deshalb auch immer eine monoton steigende Funktion mit den Grenzwerten $limx →−∞ F(x)= 0$ und $limx→∞ F(x)= 1$ .

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte im Umkehrschluß:

p(x)= dF-(x)- dx

(7)

Die Existenz des uneigentlichen Integrals in Definitionsgleichung 6 vorausgesetzt, kann die Wahrscheinlichkeit $P(a≤ X ≤ b )$ jetzt sehr einfach berechnet werden.

Der Erwartungswert ergibt sich wie bei den diskreten Zufallsgrößen – jetzt wird aber jeder Wert mit der differentiellen Wahrscheinlichkeit seines Auftretens multipliziert.⁵

∫ E(X )= ∞ xp (x)dx −∞

(9)

In ähnlicher Art und Weise (und unter Berücksichtigung von Formel 5) ergibt sich für die Varianz:⁶

∫ ∞ Var(X )= [x− E(X)]2p(x)dx − ∞

(10)

und im weiteren

Die Varianz ist also der quadratische Erwartungswert abzüglich des Quadrats des Erwartungswertes der Zufallsgröße.

Var(X)= E(X2)− E2(X)

(11)

Umgekehrt gilt:

E(X2)= Var(X )+ E2(X).

(12)

Für Zufallsgrößen mit verschwindendem Mittelwert ist die Varianz gleich dem Quadrat des Effektivwertes.⁷

E(X)=0 Var(X ) = E(X2)= X~2

(13)

Gleichverteilung

Eine der einfachsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die sogenannte Gleichverteilung. Sie hat auf dem Intervall $[a,b]$ eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte $p(x)$ und ist außerhalb dessen Null. Wegen der Bedingung

∫ ∫ ∞ b −∞p(x)dx= a p (x)dx = 1

muß sie folgender Gleichung für die Dichtefunktion genügen:

( { --1-- a≤ x ≤ b p(x)= ( b − a 0 sonst.

(14)

Der Erwartungswert nach Formel 9 bestimmt sich aus den Intervallgrenzen zu

∫ ∞ ∫ b x 1 b2− a2 a+ b E(X )= xp(x)dx = b−-a-dx= 2-⋅-b−-a- = --2--. −∞ a

(15)

Die Varianz ermittelt sich nach Formel 10 ebenfalls relativ einfach.