Unvollstandiges Elliptisches Integral

5.3 Unvollständiges Elliptisches Integral

Der Berechnungsalgorithmus für $F(φ; k)$ basiert auf der iterativen Verringerung des Moduls $k$ mit Hilfe der (aufsteigenden) LANDEN-Transformation von Abschnitt 4.7.1.⁵⁸ Dazu werden ausgehend von $φ0 = φ$ und $k0 = k$ die Formeln 108, 111 und 96 benutzt [Bul65], [HR63].

$N$ -malige Anwendung der Gleichung 171 führt zu

N F(φ;k)= 2−N F(φN;kN)∏ (1 + ki). i=1

(173)

Setzt man solange fort bis die Näherung $kN ≈ 0$ akzeptabel wird, dann kann der Spezialfall $F(φ;0 )= φ$ nach Formel 12 herangezogen werden

F(φN;kN) ≈ F(φN;0)= φN .

Einsetzen in Gleichung 173 ergibt letztlich:

N F(φ;k)= 2−N φN∏ (1+ ki). i=1

Wegen der Periodizität des Tangens ist man vom Argument $φ$ her zunächst auf das Intervall $[− π ∕2,+π ∕2]$ beschränkt. Hier kann man sich jedoch mit Reduktionsformel 15 helfen, wobei dann allerdings die Berechnung von $K (k)$ mit Hilfe des AGM unumgänglich wird.

Praktisch wird allerdings fast immer der AGM-Algorithmus (vgl. Abschnitt 5.1) in Verbindung mit Gleichung 7 implementiert, um das unvollständige elliptische Integral $F(φ;k)$ numerisch zu bestimmen. Dazu ist nur Gleichung 172 anzupassen,

denn die Modultransformation wird ja direkt durch das AGM realisiert.

In diesem Zusammenhang kommt für die Berechnung von $φi$ auch häufig Gleichung 109 in der Form

zur Anwendung.