Elliptischer Sinus

Wendet man die GAUSS-Transformation entsprechend Gleichung 113 zur Berechnung von $sn(u;k)= sn(u0;k0)$ in der Form

an (vgl. [Bul65], [HR63]), so führt dies für $k< 1$ letztlich zu einem Modul $lii→m∞ki = 0$ . Bricht man den Vorgang nach $N$ Iterationen ab, so gilt:⁵⁹

Nach Ermittlung von $uN$ kann man durch inverse Interpretation ( $i= N...0$ ) der Abstiegsgleichung 174 rückwärts $sn(x0;k0)= sn(x;k)$ berechnen.

Das Modul $ki$ kann hierfür äquivalent zu Formel 102 in jedem Schritt rückwärts berechnet werden.⁶¹

Nach [Pev92] ist der absolute Gesamtfehler des Verfahrens kleiner als $K(k)k2N∕2$ .

Algorithmus 2: Numerische Berechnung von $x= sn(u;k)$

Require: $ε > 0$ {Abbruchkriterium} Require: $k ≤ 1$ {Modul} $x0 ⇐ x$
$k0 ⇐ k$
$a0 ⇐ 1$
$b0 ⇐ k′$
$i⇐ 0$

while $ki > ε$ do
$k ⇐ ai−-bi i+1 ai+ bi$
if $ki+1 ≥ ki$ then {Konvergenzproblem?}
if $ki+1 > 1∕2$ then {Fall $k= 1$ }
$x⇐ tanhu$
else {Fall $k= 0$ }
$x⇐ sinu$
end if
return
end if

$---xi-- xi+1 ⇐ 1+ ki+1$ {Gleichung 175}
$ai+-bi ai+1 ⇐ 2$ {AGM}
$---- bi+1 ⇐ ∘ aibi$
$i⇐ i+ 1$
end while

$x ⇐ sinx i i$ { $sn(x ;k )≈ sn(x ;0)= sinu N N N N$ }

repeat
$(1+-ki)xi xi−1 ⇐ 1+ kix2 i$ {Gleichung 174}
$i⇐ i− 1$ {Rückwärts-Rechnung}
until $i= 0$

$x ⇐ x0$

5.4 Elliptischer Sinus