Vollstandiges Elliptisches Integral

5.2 Vollständiges Elliptisches Integral

Das Vollständige Elliptische Integral $K$ kann ausgehend von Gleichung 168 ebenfalls mit Hilfe des AGM-Algorithmus’ berechnet werden. Dazu wird Gleichung 168 als vollständiges elliptisches Integral erster Art $K(k)$ ausgedrückt, indem man wieder Formel 28 hinzuzieht.

π 1 π a M (a0,b0) = --⋅∫-∞-------------------= --⋅--(∘--0---)-- 2 ∘-------dt-------- 2 K 1 − b20- 0 (t2+ a2)(t2+ b2) a20 0 0

(169)

Umstellen nach $K$ bedeutet:

(∘ ------) b20 π- ---a0---- K 1 − a2 = 2 ⋅M (a0,b0). 0

Wählt man nun z. B. $a0 = 1$ , was die Voraussetzung $a0 > b0$ erfüllt und setzt $√ ----2--2- k = 1− b0∕a0$ als Argument, so gilt für $√------ b0 = 1 − k2 = k′$ . Damit berechnet sich das Elliptische Integral erster Art zu:

π- ---1--- K(k)= 2 ⋅M (1,k′),

(170)

was der zugehörige Algorithmus 1 wiederspiegelt.

Algorithmus 1: Numerische Berechnung von $K (k)$ mittels AGM

Require: $ε > 0$ {Abbruchkriterium} Require: $k ≤ 1$ {Modul} $a0 ⇐ 1$
$b0 ⇐ k′$ { $√ ------ k′ = 1− k2$ }
$i⇐ 0$

repeat
$ai+1 ⇐ ai+-bi 2$ {AGM}
$∘ ---- bi+1 ⇐ aibi$
$i⇐ i+ 1$
until $a− b < ε i i$

$π K (k)⇐ ------ ai+ bi$

Für die Darstellung von $K$ mit Hilfe des Modulwinkels $ϕ$ , d. h. für $k = sinϕ$ , ist $b0 = cosϕ$ zu wählen.

∫ π2-------dα------- K (φ) = 0 ∘ ------2----2-- 1 − sin ϕ sin α

Jetzt soll noch kurz auf die Produktdarstellung für $K$ eingegangen werden. Dazu benutzen wir Formel 94 aus Abschnitt 4.7.1 im Sinne von $Λ = K(ki+1 )$ , $K = K (ki)$ und schreiben als reelle (Viertel-) Periodenbeziehung

--2-- 1-−-k′i K (ki)= 1 + k′K (ki+1), ki+1 = 1 + k′< ki i i

mit dem Ausgangspunkt $K (k)= K (k0)$ . Bei einer unendlichen Anzahl von Iterationen wird $k$ Null und wegen Gleichung 26 gilt:

N−1 N−1 ∞ K(k)= lim K (kN)∏ --2-′= lim 2NK (kN)∏ (1+ k′i)−1 = π-∏ --2-′. N→∞ i=0 1+ ki N→ ∞ i=0 2 i=01+ ki

Das heißt, die Zwischenwerte $ai$ und $bi$ eines normalen AGM könnten zur Berechnung des Produkts verwendet werden, wenn man die Beziehung $k′i = bi∕ai$ berücksichtigt.