Der Algorithmus des Arithmetisch-Geometrischen Mittelwertes (AGM) stellt eine effiziente Möglichkeit zur numerischen Berechnung des elliptischen Integrals erster Art dar [Cay76, XIII], [Tri48, IV, § 7], [Hur00, II-7, § 6].54 Er ist eine konsequente Anwendung der GAUSS-Transformation von Abschnitt 4.7.2 auf die elliptische Differentialgleichung 70 wiefolgt:55
| (158) |
Aus der LEGENDRE-Form der elliptischen Differentialgleichung 70 kann man natürlich auch eine entsprechende GAUSS’sche Form ableiten. Dazu sollen zuerst die Darstellungsformen von Formel 9, 6, 7 und 8 rekapituliert und auf die Ausdrücke der linken und rechten Seite von Gleichung 158 angewandt werden.
Mit dieser Indizierung schreibt sich Differentialgleichung 70 in der GAUSS-Form
| (159) |
Bevor diese wichtige Relation nun bewiesen wird, sollen die Beziehungen zwischen den Modulen und auf der Basis von und dargestellt werden.
| (160) |
Ersetzt man auch auf der linken Seite noch das Modul, so ergibt sich folgende Gleichung.
Nach Erweiterung der rechten Seite wiefolgt
kann man (durch Vergleich von Zähler und Nenner) die Basisbeziehungen des AGM ableiten.
Mit diesen Voraussetzungen ist ein Beweis von Differentialgleichung 159 einfach zu erbringen.
Beweis. Dazu geht man von der LEGENDRE’schen Form in Differentialgleichung 158 aus.
Der “Multiplikator” in dieser Darstellung ist nun aber genau Eins, was Anwendung von Formel 161 schnell zeigt (wenn man außerdem das Modul durch ersetzt).
__Was nun die Beziehung zwischen und angeht, so ist sie ja durch die trigonometrische Beziehung 119 der GAUSS-Transformation festgelegt.
Zurück zum eigentlichen Algorithmus läßt sich nun die folgende Iteration durchführen,
wobei die Anfangswerte und nicht-negative Zahlen (mit ) sein sollen. Dabei nähern sich für beide Werte und einem gemeinsamen Grenzwert,56 dem sogenannten AGM [Tod84].
| (165) |
Um diesen Grenzwert zu finden, bildet man zuerst das unbestimmte elliptische Integral
| (166) |
und kombiniert es mit Relation 159.
| (167) |
Die Beziehung zwischen den Integrationsgrenzen ist durch Gleichung 163 gegeben, d. h. wenn das Integrationsintervall auf der linken Seite von nach läuft, dann geschieht dasselbe auch auf der rechten Seite der Integralgleichung.
Nimmt man das rechtsseitige Integral als Ausgangspunkt für den nächsten Iterationsschritt,57 so kann man unter Berücksichtigung von Formel 165 auch schreiben:
Bedenkt man weiterhin, daß der Integrand in Gleichung 166 eine gerade Funktion ist, kann folgende Integraldarstellung für gegeben werden: