Hier sollen nun ausgewählte Eigenschaften der Transformationsfunktion bzw. des Differentials (von Gleichung 69) ermittelt werden. Die charakteristischen Eigenschaften sollen später dazu dienen, Aussagen zur Form von machen zu können.
Reziproke Argumente Im Zusammenhang mit reziproken Argumenten sei auf folgende bemerkenswerte Eigenschaft von hingewiesen:
Beweis. Ersetzt man im Ausdruck der Gleichung 69 die Variable durch
dann ändert sich nur das Vorzeichen der rechten Seite.
Substituiert man nach der gleichen Methode nun auch durch , dann tritt auf der linken Seite ebenfalls (nur) eine Vorzeichenumkehr auf und die Differentialgleichung 69 ändert sich überhaupt nicht.35 Folglich sind und ebenfalls durch verbunden und es gilt:
d. h. die Transformationsfunktion muß die Eigenschaft laut Gleichung 81 aufweisen. __
Funktionsverlauf Weitere Eigenschaften der Lösungsfunktion ergeben sich aus den Betrachtungen von Abschnitt 4.3 sowie 4.4. Dazu sei hier nocheinmal auf Abbildung 8a verwiesen, welche den Verlauf des Parameters in der komplexen Ebene zeigt. Sie zeigt den Weg des Parameters insbesondere für die elliptischen Haupttransformationen (, bzw. , ) sehr anschaulich. Für diese Fälle entarten die Gleichungen 76 und 77 auf den Wegabschnitten und (vgl. Abschnitt 3.11).
Für den Fall enthält Tabelle 5 eine Übersicht in Bezug auf den Verlauf von nach Abbildung 8.
Auf Wegabschnitt determiniert (gerade/ungerade) welche Gleichung für zutrifft, auf Abschnitt ist es . Ist bzw. gerade, dann trifft jeweils Formel zu (irrationale Lösung), im anderen Fall ist es (rationale Lösung). Als spezielle Funktionswerte ergeben sich daraus
Eine wesentliche Schlußfolgerung der vorangegangenen Ausführungen sowie der Gleichungen in Tabelle 5 ist die, daß in diesem Fall eine ungerade Funktion sein muß.
Der Fall führt zu einer Verschiebung von entlang der reellen Achse, wodurch zu einer geraden Funktion wird. Mit Hilfe der Verschiebungsrelationen nach Tabelle 3 kann man auch hier eine Übersicht angeben, welche Tabelle 6 präsentiert. Ist bzw. gerade, dann trifft jeweils Formel zu, im anderen Fall ist es .
Als spezielle Funktionswerte ergeben sich hier:
Rationale Lösungen Mit den soeben gewonnen Erkenntnissen kann man die rationale Lösung nach Formel 73 konkretisieren.
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Herangezogen wurden dazu all die Fälle, welche in den Tabellen 6 und 5 rein reelle Funktionsverläufe erzeugen, also
Nun soll noch nachgewiesen werden, daß die Koeffizienten und der Polynome und der rationalen Lösung nach Gleichung 73 nicht unabhängig voneinander, sondern durch folgenden Relation verbunden sind.
Beweis. Um diese Beziehung einfach zu begründen soll unser Augenmerk der Linearfaktordarstellung von und mittels der Polstellen und Nullstellen gelten. Im ersten Schritt wird dazu gebildet.
Nach Gleichung 81 und wegen muß nun gelten
Setzt man im Zähler die speziellen Werte , dann müssen sowohl links- als auch rechtsseitiger Ausdruck verschwinden.36
Sind die Pole aber schon durch die Nullstellen determiniert, dann hängen auch die Koeffizienten von ab. __
Aus Gleichung 86 kann man, wenn andere spezielle Werte wie z. B. eingesetzt werden, auch das Modul bestimmt werden.