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4.5 Die Transformationsfunktion

Hier sollen nun ausgewählte Eigenschaften der Transformationsfunktion f(x;k)  bzw. des Differentials (von Gleichung 69) ermittelt werden. Die charakteristischen Eigenschaften sollen später dazu dienen, Aussagen zur Form von f(x;k)  machen zu können.

Reziproke Argumente Im Zusammenhang mit reziproken Argumenten sei auf folgende bemerkenswerte Eigenschaft von f(x;k)  hingewiesen:

 (1-  )   ---1---
f kx;k =  λf(x;k).
(81)

Beweis. Ersetzt man im Ausdruck    √ ----------------
dx∕  (1 − x2)(1− k2x2)  der Gleichung 69 die Variable x durch 1∕kx1

   -1-            dx1
x= kx1,    dx = − kx21,

dann ändert sich nur das Vorzeichen der rechten Seite.

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Substituiert man nach der gleichen Methode nun auch y durch 1∕λ y1  , dann tritt auf der linken Seite ebenfalls (nur) eine Vorzeichenumkehr auf und die Differentialgleichung 69 ändert sich überhaupt nicht.35 Folglich sind x1  und y1  ebenfalls durch y1 = f(x1;k)  verbunden und es gilt:

     (    )
y= f  -1-;k  = --1-=  ---1----,
      kx1     λ y1   λf(x1;k)

d. h. die Transformationsfunktion f muß die Eigenschaft laut Gleichung 81 aufweisen. __

Funktionsverlauf Weitere Eigenschaften der Lösungsfunktion ergeben sich aus den Betrachtungen von Abschnitt 4.3 sowie 4.4. Dazu sei hier nocheinmal auf Abbildung 8a verwiesen, welche den Verlauf des Parameters u in der komplexen Ebene zeigt. Sie zeigt den Weg des Parameters u insbesondere für die elliptischen Haupttransformationen (γ = n , δ = 1  bzw. γ = 1  , δ = n ) sehr anschaulich. Für diese Fälle entarten die Gleichungen 76 und 77 auf den Wegabschnitten ○2  und ○3  (vgl. Abschnitt 3.11).

Für den Fall C = 0  enthält Tabelle 5 eine Übersicht in Bezug auf den Verlauf von u nach Abbildung 8.


Tabelle 5: Funktionswerte x , y für C = 0





Weg Re(u)  Im(u)  x ± y










1 0≤ Re(u)≤ K 0 sn(u;k)  sn(u∕M;λ )





2 K 0 ≤ Im (u)≤ K ′ nd[Im (u);k′]                 ′
○a jsc[Im(u)∕M;λ′]
○bnd[Im(u)∕M; λ ]





3 K ≤ Re(u) ≤ 2K K ′ k−1ns[Re(u);k]  ○a sn−(u1∕M; λ)
○bλ  ns[Re(u)∕M; λ]






Auf Wegabschnitt ○2  determiniert γ (gerade/ungerade) welche Gleichung für y zutrifft, auf Abschnitt ○3  ist es δ . Ist γ bzw. δ gerade, dann trifft jeweils Formel ○a  zu (irrationale Lösung), im anderen Fall ist es ○b  (rationale Lösung). Als spezielle Funktionswerte ergeben sich daraus

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Eine wesentliche Schlußfolgerung der vorangegangenen Ausführungen sowie der Gleichungen in Tabelle 5 ist die, daß f(x;k)  in diesem Fall eine ungerade Funktion sein muß.

Der Fall C = ±M Λ  führt zu einer Verschiebung von y entlang der reellen Achse, wodurch y = f(x;k)  zu einer geraden Funktion wird. Mit Hilfe der Verschiebungsrelationen nach Tabelle 3 kann man auch hier eine Übersicht angeben, welche Tabelle 6 präsentiert. Ist γ bzw. δ gerade, dann trifft jeweils Formel ○a  zu, im anderen Fall ist es ○b  .


Tabelle 6: Funktionswerte x , y für C = Ω∕2




Re(u)  Im (u)  x ± y








0 ≤ Re(u)≤ K 0 sn(u;k)  cd(u∕M;λ)




K 0≤ Im(u)≤ K′ nd(Im(u);k′)                ′
○a nd(Im (u)∕M;λ )′
○b jsc(Im (u)∕M; λ)




K ≤ Re(u)≤ 2K K′ k−1ns(Re (u);k)  ○a cd(−u1∕M; λ)
○b λ  dc(Re(u)∕M;λ )





Als spezielle Funktionswerte ergeben sich hier:

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Rationale Lösungen Mit den soeben gewonnen Erkenntnissen kann man die rationale Lösung nach Formel 73 konkretisieren.

    (|  u(x2)
    |{ xv(x2)    (C = 0;γ ungerade)
y =   u(x2)
    ||( ---2-     (C = MΛ; γ gerade)
      v(x )
(84)

Herangezogen wurden dazu all die Fälle, welche in den Tabellen 6 und 5 rein reelle Funktionsverläufe erzeugen, also

Nun soll noch nachgewiesen werden, daß die Koeffizienten aν  und bμ  der Polynome U (x)  und V (x)  der rationalen Lösung nach Gleichung 73 nicht unabhängig voneinander, sondern durch folgenden Relation verbunden sind.

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Beweis. Um diese Beziehung einfach zu begründen soll unser Augenmerk der Linearfaktordarstellung von U(x)  und V (x)  mittels der Polstellen x× und Nullstellen x∘ gelten. Im ersten Schritt wird dazu f (1∕kx;k)  gebildet.

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Nach Gleichung 81 und wegen x∘n−1 = 0  muß nun gelten

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Setzt man im Zähler die speziellen Werte x= k− 1x− 1
       ∘ν  , dann müssen sowohl links- als auch rechtsseitiger Ausdruck verschwinden.36

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Sind die Pole x
×μ  aber schon durch die Nullstellen x
∘ν  determiniert, dann hängen auch die Koeffizienten bμ  von aν  ab. __

Aus Gleichung 86 kann man, wenn andere spezielle Werte wie z. B. x= 1  eingesetzt werden, auch das Modul λ bestimmt werden.

        ┌ --------------------
        │   n′
        ││  ∏  (1− x×μ)(1− kx×μ)
     dbn′││  μ=1----------------
λ = k an│∘  n−1
            ∏ (1− x∘ν)(1− kx∘ν)
           ν=1