Rationale Losung

Schon C.G.J. JACOBI hat in [Jac29] nachgewiesen, daß Lösungen der Differentialgleichung 70 algebraische Funktionen der Form $F (x,y) = 0$ sein können [Tri48, IV], [Hur00, II-5, § 4 ff.]. Für die implizite Darstellung solcher Funktionen wiefolgt

wobei $p0,p1,...pm−1,pm$ Polynome in $x$ sind, kann bekanntermaßen in bestimmten Spezialfällen eine explizite Lösungsformel $y= f (x)$ ermittelt werden. Bei dem gesuchten Integral $f(x)$ handelt es sich in den einfachsten Fällen um eine irrationale ( $m = 2$ ) oder rationale Funktion ( $m = 1$ ), wobei sich Letztere als

Um für diesen Funktionstyp den Nachweis zu erbringen, daß es sich um eine Lösung von Differentialgleichung 70 handelt, folgen wir [Cay76, § 218 ff.] und setzten zuerst $U = U (x)$ bzw. $V = V (x)$ und bilden dann $∘ ---------------- (1− y2)(1 − λ2y2)$ sowie die Ableitung $′ y$ .

Dividiert man die Ableitung $y′$ durch $√---------------- (1− y2)(1− λ2y2)$ entsteht der Ausdruck

welcher ja letztlich der rechten Seite von Gleichung 69 (multipliziert mit $M −1$ ) entsprechen soll.

Notwendige Voraussetzung dafür ist zuerst einmal, daß für den Grad der Polynome $U$ und $V$ die Einschränkung $′ |d|= |n− n |≤ 1$ gilt, d. h. entweder beide Polynome sind vom Grad $n$ (bzw. $′ n$ ) oder eines ist vom Grade $n$ , das andere aber $n − 1$ .²⁵

Beweis. Der Nachweis basiert auf der letzten Gleichung in folgender Darstellung

M2 (1 − x2)(1− k2x2)(U ′V − U V′)2 = (U2 − V 2)(U 2− λ2V 2)

und vergleicht einfach den Grad von links- und rechtsseitigem Polynom (mit entsprechender Fallunterscheidung).

Eine Funktion ist also vom Grad $n$ , die andere vom Grad $n − 1$ und deshalb die Differenz $d = n− n′ = ±1$ . Allerdings ergeben sich dieselben Verhältnisse auch für $n= n′$ (also $d = 0$ ), denn in diesem Fall verschwindet der höchstwertige Koeffizient (mit Wert $anbn′d$ ) in $U′V − UV ′$ . Verringert man entsprechend den linksseitigen Grad in Gleichung 75 um Eins (auf der rechten Seite bleibt alles wie gehabt), dann wird sofort erkennbar, daß auch $′ n = n$ eine Lösungsmöglichkeit ist. __

Nimmt man nun an, daß sich in Gleichung 74 ein Faktor $2 (x− c)$ vom Ausdruck $2 2 2 2 2 (U − V )(U − λ V )$ abspalten läßt, dann ist der Term $x− c$ in $′ ′ U V − UV$ ebenfalls als Faktor enthalten.

Beweis. Ist $2 (x− c)$ ein Faktor ( $c$ eine doppelte Nullstelle) von $2 2 U − V$ oder $2 2 2 U − λ V$ , dann ist $2 (x− c)$ auch ein Faktor von $U − V$ oder $U +V$ bzw. $U − λ V$ oder $U + λV$ . Betrachten wir im weiteren nur den Fall, daß der Faktor $2 (x− c)$ in $U − V$ enthalten ist (gleiches gilt für die anderen Fälle). Es ergeben sich dann die Darstellungen

mit den Ableitungen nach $x$

Bildet man jetzt

dann bestätigt das gemeinsame Vorkommen des Faktors $x− c$ in allen Summanden unsere Annahme. __

Setzt man eine solche Abspaltung für alle $2n− 2$ Wurzeln von $U′V − U V′$ fort, dann bleibt in $2 2 2 2 2 (U − V )(U − λ V )$ , dessen Grad ja $4n$ ist, ein Produktterm vom Grad $4$ übrig, der nicht mehr gekürzt werden kann. Mit den konstanten Koeffizienten $di$ ergibt sich demzufolge die Darstellung:²⁶

und berücksichtigt außerdem, daß eine Überführung des besagten Produktterms in die Form $2 2 2 (1− x )(1− k x )$ immer möglich ist (siehe [Tri48, II, § 3], [WW27, § $20⋅54$ , § $20⋅6$ ]), dann ist mit einer rationalen Polynomfunktion $y= f (x)$ die elliptische Transformation nach Gleichung 70 möglich.²⁷ Aus dieser Feststellung heraus kann man bezüglich der Bestimmung der Koeffizienten von $U$ und $V$ noch die Bedingung

4.3 Rationale Lösung