Autokorrelationsfunktion

4.2 Autokorrelationsfunktion

Nehmen wir nun an, wir betrachten eine Realisierung $X (t)$ zu zwei Zeitpunkten $t0$ und $t0+ τ$ . Obwohl für stationäre Zufallsprozesse der Zeitpunkt $t$ keine Rolle spielt, wird trotzdem (zumindest unter dem Blickwinkel der Allgemeinheit) eine stochastische Abhängigkeitsbeziehung zwischen $X (t0)$ und $X(t0+ τ)$ bestehen. Bezeichnen wir nun zwei Zufallsvariablen mit $X1 = X(t0)$ und $X2 = X(t0 +τ )$ und stellen die Frage nach einer der wesentlichsten Eigenschaften des Zufallsvektors $(X1,X2)$ – nämlich der Abhängigkeit (bzw. Unabhängigkeit) von $X1$ und $X2$ . Dazu haben wir schon geeignete Maße kennengelernt, nämlich die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten. Um ausgehend von deren Definition jedoch fortfahren zu können, müssen wir noch Existenz und Kenntnis der verbundenen Wahrscheinlichkeitsdichte des zweidimensionalen Vektors $p (X ,X ) X 1 2$ voraussetzen. Nun definieren wir eine neue (aber dennoch mit $Corr(⋅)$ und $Cov (⋅)$ eng verwandte) Größe und bezeichnen sie als Korrelation $r(X1,X2)$ zweier Zufallsgrößen:²⁶

r(X1,X2)= E(X1X2)

Gleichbedeutend ist auch der folgende Ausdruck, wenn man Formel 24 berücksichtigt.

r(X1,X2)= Cov (X1,X2)+ E(X1)E(X2)

Erinnern wir uns an den Ausgangspunkt und ersetzen die (zur besseren Anschauung eingeführten) Zufallsgrößen $X1$ und $X2$ wieder durch die Realisierung $X(t)$ .

r[X(t ),X (t + τ)]= E [X (t )X(t +τ )] 0 0 0 0

Ferner berücksichtigen wir, daß für stationäre Zufallsprozesse der Zeitpunkt $t0$ keine Bedeutung hat – und definieren die sogenannte Autokorrelationsfunktion von $X (t)$ .

E(X)=0 φxx(τ) = E[X(t)X(t+ τ)] = Cov [X (t),X (t+ τ)]

Für eine kontinuierliche Realisierung $X(t)$ des Zufallsprozesses $X (t)$ berechnet sich dieser Erwartungswert wiefolgt (vgl. Abschnitt 3.4):

∫ ∞ ∫ ∞ φxx(τ)= x(t)x(t+ τ)pX [x(t)x(t+ τ)]dx(t)dx(t+ τ). −∞ −∞

Für ergodische Prozesse nimmt man nun zusätzlich noch an, daß der Erwartungswert $E[X(t)X(t+ τ)]$ aus der Zeitfunktion $x(t)$ als (Selbst-) Ähnlichkeitsmaß folgendermaßen bestimmt werden kann.

1 ∫ ---------- φxx(τ)= E [x(t)x(t+ τ)]= lim -- x(t)x(t+ τ)dt = x(t)x(t+ τ) T→ ∞T T

(52)

Die dadurch definierte Autokorrelationsfunktion (AKF) hat folgende Eigenschaften:

Die AKF ist bezüglich $τ$ eine gerade Funktion, d. h. $φxx(− τ)= φxx(τ)$ .
Für $τ → 0$ ist ist sie gleich dem Quadrat des Effektivwertes (bzw. der mittleren Leistung $P$ des Signals), vorausgesetzt $X (t)$ ist keine aperiodische oder determinierte Funktion, sondern ein echter Zufallsprozeß.
$1∫ 2 [ 2 ] 2 φxx(0)= Tli→m∞T- T x(t)dt = E X (t) = X~ = P$ (53)

In der Umgebung von $τ = 0$ ist insbesondere der Abfall von $φxx(τ)$ ein Maß für die Regellosigkeit des Prozesses.
Ist $X (t)$ aber ein determiniertes Energiesignal (charakterisiert durch $∫∞ x2(t)dt < ∞ − ∞$ ), dann wird üblicherweise die Definition der AKF (sowie aller daraus abgeleiteten Größen) geringfügig modifiziert.²⁷
$∫ ∞ φ(xEx)(τ) = x(t)x(t+ τ)dt −∞$ (54)
Für $τ → ± ∞$ kann man annehmen, daß $x(t)$ und $x(t+ τ)$ vollständig unabhängig sind, weshalb dann $∫ ∫ [ ∫ ]2 ---- lim φ (τ)= lim 1- x(t)dt x(t)dt = lim 1- x(t)dt = x(t)2 τ→± ∞ xx T→ ∞T T T T→∞ T T$

gilt. Hat der Zufallsprozeß keine systematischen (oder determinierte) Anteile und außerdem einen zeitlichen Mittelwert $---- x(t)= 0$ , dann verschwindet die Autokorrelationsfunktion im Unendlichen: $limτ→ ±∞φxx(τ)= 0$ .
Wegen Punkt 2 gilt immer die Relation $|φxx(τ)|≤ φxx(0)$ .²⁸
Aus Eigenschaft 1 ergibt sich die Ausdrucksmöglichkeit der AKF als Faltung.

$φxx(τ) = lim 1(x∗ x∗)(τ) T→∞ T$ (55)

Für (determinierte) Energiesignale entfällt der Limes, d. h. die “Energie-AKF” ist ganz einfach die Faltung
$φ(E)(τ) = (x∗x∗)(τ ). xx$