Einfuhrung

4.1 Einführung

Die Transformationstheorie der JACOBI’schen elliptischen Funktionen und Integrale befaßt sich mit den rationalen, algebraischen Lösungen $y = f(x;k)$ der Differentialgleichung

∘------Mdy-------- = ∘-------dx-------. (1 − y2)(1− λ 2y2) (1− x2)(1− k2x2)

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Wie noch zu sehen sein wird, ist dieses Problem eng verknüpft mit der Transformation der JACOBI’schen elliptischen Funktionen auf solche Module ( $k → λ$ , $k′ → λ ′$ ), die zu ganzzahligen Übersetzungen der Periodenverhältnisse führen ( $′ ′ ω∕ω → Ω ∕Ω$ ).

Die hier bevorzugte Betrachtungsweise ist (wie auch in [Jac29, § 20]) vor allem analytisch, da sie dem Leserkreis vertrauter sein dürfte. Wegen der Vielzahl der existierenden Transformationsformeln ist als praktische Referenz die tabellarische Zusammenfassung in [Ach70] empfehlenswert.