Tschebyscheff-Tiefpaß

2.3 TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß

2.3.1 Amplitudencharakteristik

Der erste Typ des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß ist durch direkte Anwendung der TSCHEBYSCHEff-Funktionen erster Art (siehe Anhang ??) für die Drosselung gekennzeichnet [Zve67, Che95, Fri79a].

D (ω) = σT (ω ) n

(2.15)

Man kann sich auch leicht an Hand der folgenden Definition für $Tn(ω)$ davon überzeugen, daß die Funktion im Intervall $|ω|< 1$ eine Bestapproximation der Nullinie (im Sinne von Abschnitt 2.1.2, vgl. auch [Kör88, 45] oder [Mei64, § 4]) darstellt, für $|ω |> 1$ aber gegen $±∞$ strebt.

( {cos(narccosω) (|ω |≤ 1) Tn (ω )= ( cosh(narcoshω ) (|ω |> 1)

Daß es sich hier wirklich um Polynome in $ω$ handelt, zeigt die äquivalente Definitionsgleichung ?? für $Tn (x)$ im Anhang ??. Dort sind auch TSCHEBYSCHEff-Polynome bis zum Grad $n = 5$ sowie ihr Funktionsverlauf (in Abbildung ??) gegeben. Wie spezielle Werte des Funktionsverlaufs von $Tn(x)$ sich auf den normierten Amplitudengang nach

1 H (ω )= ∘------------- 1+ σ2 T2n(ω )

(2.16)

auswirken, kann (auch mit Rückblick auf Tabelle 2.1) anschaulich Abbildung 2.4 entnommen werden.

Abbildung 2.4:

Amplitudengang des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß Typ I

Die Grenzfrequenz ist bei diesem Tiefpaß-Typ immer normiert $ωg = 1$ , zumindest soweit man sie als Eckfrequenz entsprechend Tiefpaß-Toleranzfeld in Abbildung 2.1 sieht. Der Amplitudengang hat im Durchlaßbereich eine Welligkeit, welche durch die TSCHEBYSCHEff-Funktion verursacht wird (vgl. Abbildung ??). Sie nimmt an den Extremstellen $cos(kπ∕n )$ alternierend die Werte $± 1$ an – dazwischen liegen (notwendigerweise) die Nullstellen bei $cos[(k − 1∕2 )π ∕n]$ . Kombiniert man beide Ausdrücke, dann erhält man die Extremstellen des Amplitudengangs.

( π-) ωk = cos k2n , k= 0,1,2,...,n− 1

An diesen Stellen ist $H (ω )$ nach Tabelle 2.1 entweder $1$ oder $2−1∕2 (1+ σ )$ und die Welligkeit $ε$ deshalb:

1 ε = 1− √------2. 1+ σ

Wie schon beim BUTTERWORTH-Tiefpaß besteht ein determinierter Zusammenhang zwischen der Grenz- und Sperrfrequenz sowie der minimalen und maximalen Sperrdämpfung.

Aus diesen Abhängigkeiten kann man durch Gleichsetzen der Ausdrücke für $σ$ wieder den minimalen Grad des Filters bestimmen.

∘ 10Amin∕10−-1 arcosh--10Amax∕10−-1 n ≥ arcoshωs

(2.17)

2.3.2 Polstellen

Um die Verteilung der Polstellen zu bestimmen, gehen wir von der komplexen Übertragungsfunktion $2 H (ω) = H(jω)H (− jω)$ aus

2 -----1------ H (ω )= H (jω )H(− jω )= 1+ σ2T2 (ω ) n

und verallgemeinern dann im Sinne der LAPLACE-Transformation $jω ⇒ s$ .

H(s)H (− s)= ------1----- . 1 + σ2T2n(s∕j)

An den Polstellen muß der Nenner verschwinden, was heißt:

Wegen $s = α + jω$ müssen wir davon ausgehen, daß $arccos(s∕j)$ eine komplexe Größe ist. Um nicht den Überblick zu verlieren substituieren wir $z= u + jv = Rez+ jIm z= arccos(s∕j)$ und notieren als komplexe Gleichung:

cos(nu+ jnv)= ±j 1. σ

Nimmt man das Additionstheorem $cos(φ + ϑ )= cosφ cosϑ − sinφ sinϑ$ hinzu, dann sind die Gleichungen

äquivalent und wir können die Nullstellenbedingung in Real- und Imaginärteil separieren.

Der Realteil wird Null, wenn $cos(nu)= 0$ gilt, was für Argumente $nuk = kπ − π∕2 ×$ bzw. $u×k = π(2k− 1)∕2n$ der Fall ist. Einsetzen in die imaginäre Bedingung führt zu

Mit diesen Ergebnissen kehren wir zur Substitution $cosz = s ∕j ×k ×k$ zurück und wenden (wieder) das komplexe Additionstheorem $cos(u + jv)= cosu cosh v− jsinu sinhv$ an.

Einsetzen von $u$ und $v$ ergibt für die $2n$ Polstellen der Funktion $H (s)H (− s)$ , getrennt für Real- und Imaginärteil:

Interpretiert man beide Anteile geometrisch, dann ist zu bemerken, daß alle Pole auf einer Ellipse mit den Halbachsen

liegen (siehe auch Abbildung 2.5).¹⁴ Wegen der für Hyperbelfunktionen immer geltenden Äquivalenz $cosh2v − sinh2v= 1$ besteht zwischen den Halbachsen die Abhängigkeitsbeziehung $2 2 ωH − αH = 1$ .

(a) $n$ ungerade ( $n= 5$ ) (b) $n$ gerade ( $n =6$ )

Abbildung 2.5:

P/N-Verteilung des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß Typ I

Abschließend wählen wir die Hälfte der $2n$ Pole, nämlich (aus Stabilitätsgründen) die mit negativem Realteil aus, und ordnen sie $H(s)$ zu.¹⁵

( ) ( ) 2ν-−-1 π- 2ν-−-1 π- s×ν = − αH sin 2 ⋅ n + jωH cos 2 ⋅n , ν = 1,2,...,n

(2.20)

Geschlossene Darstellungen für die Polfrequenzen und -güten (abgeleitet aus den allgemeinen Formeln 2.12 und 2.13) nehmen bei diesem Filtertyp schon einige Komplexität an. Deshalb sollte man sich zu deren Bestimmung entweder mit einer Softwareimplementierung oder entsprechenden Tabellen, wie z. B. in [Fri79a, Tab. 2.5], behelfen.