Butterworth-Tiefpaß

2.2 BUTTERWORTH-Tiefpaß

2.2.1 Amplitudencharakteristik

Der BUTTERWORTH-Tiefpaß $n$ -ter Ordnung zeichnet sich durch die Amplitudencharakteristik

1 H (ω) = √---------- 1+ σ2ω2n

(2.4)

aus [Zve67, Che95, Fri79a], besitzt also nach Gleichung 2.1 die Drosselung

D(ω )= σωn.

(2.5)

Da die Kreisfrequenz $ω$ nur in der höchsten Potenz vorhanden ist, werden solche Systeme auch Potenzfilter genannt und als maximal flach bezeichnet [Fri79a] [Win54].⁷ Abbildung 2.2 zeigt den Amplitudengang nach Formel 2.4 für unterschiedlichen Grad $n$ .

Abbildung 2.2:

Amplitudengang des BUTTERWORTH-Tiefpaß

Mit Hilfe des Parameters $σ$ kann die maximale Dämpfung im Durchlaßbereich $Amax$ variiert werden (vgl. Abschnitt 2.1.1). Dazu sei von der normierten Grenzfrequenz $ωg = 1$ ausgegangen, bei der

gilt und deshalb für die maximale Dämpfung:

In gleicher Art und Weise kann man für die minimale Dämpfung im Sperrbereich

erhalten, d. h. die charakteristischen Größen $ωg$ , $ωs$ , $Amax$ und $Amin$ sind nicht unabhängig voneinander. Der über den Grad $n$ bestehende Zusammenhang kann durch Gleichsetzen der Beziehungen für $σ$ ausgedrückt werden.

A ∕10 2n A ∕10 10 min − 1= ω s (10 max − 1)

Aus dieser Äquivalenz kann der minimale Grad eines BUTTERWORTH-Tiefpaß’ ausgehend von den charakteristischen Größen abgeleitet werden ( $ωg = 1)$ .

∘ --------- log 10AAmminax∕∕1010−1- n≥ -----10----−1- log ωs

(2.6)

Oft werden Filter in Bezug auf ihre 3dB-Grenzfrequenz $ωg = ω3dB$ , d. h. auf $√ -- H (1)= 1∕ 2$ , dimensioniert. Dann gilt $σ = 1∕ωn3dB$ und für den Amplitudengang

H(ω )= ∘-----1-------. (-ω--)2n 1+ ω3dB

(2.7)

2.2.2 Polstellen

Die Verteilung der Polstellen eines Filters (in der komplexen Ebene) ist grundsätzlich immer interessant, da sie Aufschlüsse bezüglich der anderen Charakteristiken, wie Amplitudengang, Phasengang, usw. zuläßt. Dazu gehen wir von der komplexen Übertragungsfunktion $H(jω)$ , in Verbindung mit der generellen Eigenschaft $H2(ω )= H(jω)H (− jω )$ , aus.

1 H2 (ω)= H(jω )H (− jω)= -----2-2n 1+ σ ω

Der Übergang in den LAPLACE-Bereich (mit $jω ⇒ s$ ) führt zu:⁸

1 H (s)H (− s)= ----2-----2n. 1+ σ (s∕j)

(2.8)

An den Polstellen von $H(s)H(− s)$ muß der Nenner in Gleichung 2.8 verschwinden, was bedeutet:

Die komplexen $2n$ Wurzeln lassen sich mit Hilfe des Satzes von MOIVRE sofort angeben:⁹

{ jkπ s = √-1- e n (n ungerade) , k = 0,1,...,2n− 1. ×k nσ ej(k+12)πn (n gerade)

Um realisierbare Systeme zu erhalten ordnet man nun $n$ Pole mit negativem Realteil $H (s)$ , die anderen $H(− s)$ zu. Man erhält, was sich durch Einsetzen einzelner Werte $k$ leicht nachprüfen läßt, folgende Polverteilung für einen BUTTERWORTH-Tiefpaß.

s = √-1-ejπ2 ej(ν− 12)πn = √j-ej2ν2−1⋅πn, ν = 1,2,...,n ×ν nσ nσ

(2.9)

Sind insbesondere Real- oder Imaginärteile von Interesse, dann ist auf Gleichung 2.9 noch die EULER’sche Formel anzuwenden.

[ ( ) ( ) ] -1-- 2ν-−-1 π- 2-ν−-1 π- s×ν = √nσ − sin 2 ⋅n + jcos 2 ⋅n , ν = 1,2,...,n

(2.10)

Anschaulich liegen alle Pole auf einem Kreis mit Radius $√n-- 1∕ σ$ , was deutlich auch in Abbildung 2.3 zu erkennen ist. Außerdem zeigt die Darstellung, daß einerseits keine Pole auf der imaginären Achse liegen und andererseits alle konjugiert komplex auftreten.¹⁰

(a) $n$ ungerade ( $n= 5$ ) (b) $n$ gerade ( $n =6$ )

Abbildung 2.3:

P/N-Verteilung des BUTTERWORTH-Tiefpaß

2.2.3 Polkenngrößen

Allgemein gelten Polkenngrößen als geeignet zur Abschätzung des Systemverhaltens im Frequenzbereich. Dabei sind es vor allem zwei Größen, die entsprechende Bedeutung erlangt haben – die Polfrequenz $ω0$ und die Polgüte $Q$ .¹¹ Zur Definition bzw. Bestimmung geht man von der Erkenntnis aus, daß komplexe Pole immer konjugiert auftreten und deshalb in der Linearfaktordarstellung von $H (s)$ paarweise (zur Vermeidung komplexer Größen) zusammengefaßt werden können.

(s− s)(s− s∗)= s2− 2sRe (s )+ Re2(s)+ Im2(s) × × × × ×

Dieses Polynom zweiten Grades (bezüglich der LAPLACE-Variable $s$ ) kann man auch folgendermaßen schreiben

(s− s )(s− s ∗) = s2+ ω0s+ ω2 , × × Q 0

(2.11)

wodurch Polfrequenz und -güte letztlich definiert werden. Koeffizientenvergleich beider Darstellungen, also

s2+ ω0s+ ω2 = s2− 2sRe(s) +Re2 (s )+ Im2 (s) Q 0 × × ×

führt sofort zur Definition der Polfrequenz $ω 0$ als Betragswert der jeweiligen Polstelle $s×ν$ .

∘ --------------- | | ω0 = Re2(s×) +Im2 (s×)= |s×|

(2.12)

Die Polgüte $Q$ ist nicht sofort ablesbar, kann aus

aber ohne größeren Aufwand bestimmt werden:¹²

Q = − ----1---- = − 1sec(∡s ). 2cos(∡ s×) 2 ×

(2.13)

Speziell für einen BUTTERWORTH-Tiefpaß gilt deshalb in Bezug auf die Polfrequenzen:

| | 1 ω0 = |s×ν|= √n--= konstant σ

und Polgüte:

( ) ( ) 1- π- 2ν−-1- π- 1- 2ν−-1- π- Qν = − 2sec 2 + 2 ⋅n = 2cosec 2 ⋅n , ν = 1,2,...,n.

(2.14)

In der letzten Formel ist erkennbar, daß die einzelnen Polgüten $Qν$ für höhere Filterordnung $n$ immer größer werden, wobei Pole in der Nähe der $jω$ -Achse die höchsten Güten aufweisen.¹³