Approximation im Frequenzbereich

2.1 Approximation im Frequenzbereich

2.1.1 Approximationsziel

Bei der Annäherung einer Zielfunktion im Frequenzbereich sind im allgemeinen zwei systemtheoretische Größen interessant: die Dämpfung $A(ω )= − 20log|H (jω )|$ sowie der Phasengang $B(ω )= − ∡ H(jω)$ . Fast alle Standard-Tiefpässe beschränken sich dabei auf die gleichmäßige (TSCHEBYSCHEff-) Approximation des Amplitudenganges $H (ω)= |H (jω )|$ , vgl. [Gui52, Gui57, Win54, Zve67, Fri79a, Mil92].¹ Dazu wird üblicherweise statt der Amplitudencharakteristik $H(ω )$ die charakteristische Funktion $D (ω) = |D (jω )|$ , welche auch Drosselung genannt wird, herangezogen. Als Zusammenhang zwischen beiden Größen gilt bekanntlich:

1 H(ω )= ∘-----------. 1+ D2(ω )

(2.1)

Es gibt verschiedene Gründe die Drosselung als Zielfunktion zu verwenden (siehe auch [SU58, Win54, Fri79a, Zve67]):

Aus Sicht der technischen Realisierbarkeit sind die Einschränkungen in Bezug auf die reellen Koeffizienten des Nenner- und Zählerpolynoms von $D (ω)$ viel schwächer, d. h. fast jede rationale Funktion ist hier erlaubt [Zve67, 2.15].²
Die Drosselung bringt das Filter-Problem einerseits gut zum Ausdruck (Approximation der Null-Linie im Durchlaßbereich), andererseits können bekannte mathematische Lösungen (die üblicherweise Standardintervalle approximieren) relativ problemlos verwendet werden [Zve67, 2.9].
An Reaktanz- (LC-) Vierpolen, welche allerdings vorwiegend historische Bedeutung haben, entspricht die Drosselung genau dem Verhältnis zwischen reflektierter und abgegebener Ausgangsleistung [Zve67, 2.1].

Für die Verwendung bekannter mathematischer Lösungsfunktionen der gleichmäßigen Approximation (bezeichnet mit $g(x)$ ) macht es sich außerdem günstig, die Drosselung als Produkt von $g(x)$ mit einer Konstanten $σ$ zu definieren.

D (ω )= σ g(ω)

(2.2)

In Tabelle 2.1 sind nun ausgewählte Approximationsintervalle bzw. -punkte sowie die Zusammenhänge mit den soeben eingeführten Größen dargelegt.

Tabelle 2.1:

Approximationskenngrößen


	$g(ω)$	$D(ω )$	$H(ω )$	$A (ω)$


Durchlaßbereich	$0$	$0$	$1$	$0$

	$1$	$σ$	$√--1---- 1+ σ 2$	$10 log (1+ σ2)$

Sperrbereich	$∞$	$∞$	$0$	$∞$

Die Definition von Durchlaß- und Sperrbereich beruht auf dem Fakt, daß (fast) alle konventionellen Standard-Filter den idealen Tiefpaß (zumindest stückweise) approximieren. Es wird deshalb für den Durchlaßbereich das Intervall $0≤ ω ≤ ωg$ angenommen,³ für den Sperrbereich $ωs ≤ ω < ∞$ . Man erhält damit ein Tiefpaß-Toleranzschema nach Abbildung 2.1, das außerdem eine maximale (erlaubte) Durchlaß-Dämpfung $Amax$ und eine minimale Sperr-Dämpfung $Amin$ definiert.⁴

Abbildung 2.1:

Tiefpaß-Toleranzfeld

Im Zusammenhang mit der Approximationsfunktion soll noch kurz angemerkt sein, daß die Extremstellen der Dämpfung sich auf der Grundlage von

A (ω )= − 20log|H(jω)|= 10log[1 + D2(ω)]= 10log [1+ σ2g2(ω)]

aus den Nullstellen von $g(ω )$ als auch deren Ableitung $g′(ω)$ zusammensetzen.

2 ′ dA-(ω-)= -10-⋅ 2σ-g(ω)g-(ω-) ⇒ g(ω )g′(ω )= 0|| dω ln 10 1 +σ 2g2(ω ) ω=ω∘

2.1.2 Bestapproximationen

P. L. TSCHEBYSCHEff hat im 19. Jahrhundert mit dem nach ihm benannten Alternantensatz die grundlegende Bedingung für eine Bestapproximation gefunden [Tsc07, Mei64, Kör88]. In kurzer Form ist der Inhalt folgender:

Eine Bestapproximation⁵ $gn(x;cn,cn−1,...,c2,c1)$ der Funktion $f(x)$ im Intervall $[a,b]$ durch eine Funktion geringster Abweichung $g(x)$ , d. h. eine Näherung für die folgende TSCHEBYSCHEff-Norm gilt:

∥f − gn∥∞ = ma≤axx≤b|f(x)− gn(x)| ⇒ Min.

(2.3)

ist dadurch gekennzeichnet, daß die Fehlerfunktion $ε(x)= f(x)− gn(x)$ an $n + 1$ verschiedenen Punkten $xν$ $(ν = 0,1,...,n)$ alternierend den Wert $± ε$ annimmt. Dabei muß der Punkt $x0$ genau auf den Intervallanfang $a$ und $xn$ auf den Endpunkt $b$ fallen.

In der Filtertheorie ist die (gesuchte) Funktion $gn$ geringster Abweichung meist die Drosselung $D (ω)$ .⁶ Die zu approximierende Funktion $f(x)$ kann als Drosselung des (fast) idealen Tiefpaß verstanden werden.

{ 0 (0 ≤ ω ≤ ωg) f(ω)= ∞ (ωs ≤ ω < ∞ )

Genau an dieser Stelle unterscheiden sich nun die Standard-Tiefpässe dadurch, daß jeder Typ die Zielfunktion $f(ω )$ in anderen Frequenzbereichen approximiert. Abgesehen davon ist jede dieser Bestapproximationen, welche ja als Zielgröße $D (ω)$ verwenden, auch eine in Bezug auf $H (ω)$ . Der Grund ist in Ausgangsgleichung 2.1 zu finden, welche nur eine direkte Abhängigkeit $H (D )$ und keine weitere von $ω$ enthält. Aus diesem Grund unterscheiden sich zwar die Fehlerfunktion $ε(ω)$ im Wert, nicht aber im alternierenden Verhalten.

Geht man nun von einer Bestapproximation (wie in Abbildung 2.1 getan) aus, dann kann man den Frequenz-Eckwerten $ωg$ und $ωs$ , da es sich um die Randpunkte handelt, die Dämpfungswerte $Amin$ und $Amax$ zuordnen.

Umgekehrt kann man aus vorgegebenen Dämpfungswerten den Skalierungsfaktor $σ$ bestimmen.

∘ ----------- ∘ ------------ --10Amin∕10−-1 --10Amax∕10−-1- σ = D(ωs) = D(ωg)