Cauer-Tiefpaß

W. CAUER hat unter anderem das Problem der Bestapproximation des idealen Tiefpaß-Amplitudengangs bzw. der charakteristischen Funktion (Drosselung) in seinen Arbeiten untersucht [Cau54]. Dabei ist er in wissenschaftlicher Art und Weise von der elektrotechnischen Problemstellung zur mathematischen Lösung gelangt. Wir wollen hier (der Kürze halber) auf die Erkenntnisse zu den elliptischen Haupt-Transformationen höherer Ordnung zurückgreifen, welche im Anhang ?? dargestellt sind.

Für die Drosselungsfunktion $D (ω )$ gibt es in der Literatur die verschiedensten Darstellungen [Cau54, VU89, Mil92, Zve67, Pil54, Fri79a, Che95], welche sich aber immer nur in der Skalierung von Amplituden- und Frequenzachse unterscheiden. Im Folgenden werden die Lösungsformeln ?? und ?? der ersten elliptischen Haupt-Transformation nach C. G. J. JACOBI als Ausgangspunkt dienen, die grundsätzliche Argumentation sich aber auf E. I. SOLOTAREff und dessen drittes Approximationsproblem stützen.²⁰

Wir gehen also von den genannten Gleichungen ?? und ?? aus und definieren eine Funktion:²¹

(| n−1 1 − x2- |||| x- ------a2ν-- (n ungerade) { M ν=∏2,4,6,...1 − k2a2νx2 C (x;k) = | n− 1 1− x2 |||| -----a2ν-- (n gerade) ( ν=1∏,3,5,...1− k2a2νx2

(2.26)

Der Parameter $k$ wird das (elliptische) Modul genannt, welches auch häufig als Modulwinkel $k = sinΘ$ anzutreffen ist. Der Multiplikator $M$ ist ein nach Formel ?? (Seite ??) berechneter Vorfaktor. Die zur Berechnung der Koeffizienten benötigte Größe $K$ ist das sogenannte elliptische Integral erster Art $K = K(k)$ nach Anhang ??. Mit $sn$ wird der elliptische Sinus (vgl. Anhang ??) abgekürzt.

Der Verlauf von $C (x;k)$ ist in den Abbildungen ?? und ?? von Anhang ??, welcher sich schwerpunktmäßig mit den Eigenschaften genau dieser elliptischen Transformationsfunktion(en) auseinandersetzt, dargestellt. $C(x;k)$ ist hier vor allem deshalb von besonderem Interesse, da sie der Approximationsvorschrift eines CAUER-Tiefpaß’, nämlich der gleichmäßigen Approximation des Dämpfungs- bzw. Amplitudenverlaufs im normierten Frequenzbereich $0 ≤ ω ≤ 1$ und $ωs ≤ ω ≤ ∞$ , genau entspricht (vgl. SOLOTAREff’s drittes Problem in Anhang ??). Wir setzen aus vorgenannten Gründen die skalierte Funktion $C(ω;k)$ als Drosselung an

1 H(ω )= ∘---------------. 1+ σ2C2(ω; k)

(2.27)

lassen sich die Dämpfungswerte $Amax$ und $Amin$ aus dem Tiefpaß-Toleranzschema von Abbildung 2.1 angeben.

Variation des Parameters $k$ zeigt, daß er die Steilheit im Übergangsbereich $1 < ω < ωs$ , aber auch die Welligkeit im Durchlaßbereich bzw. Mindestdämpfung im Sperrbereich wesentlich beeinflußt. In Abbildung 2.7 ist der Dämpfungsverlauf eines CAUER-Tiefpaß für geraden und ungeraden Grad $n$ dargestellt.

(a) Grad gerade ( $n= 6$ )
(b) Grad ungerade ( $n= 7$ )

Abbildung 2.7:

Dämpfungsverlauf des CAUER-Tiefpaß

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang eine Eigenschaft von Gleichung 2.26, welche ebenfalls der Transformationstheorie (vgl. Formel ?? dort) der elliptischen Funktionen von JACOBI entspringt.²²

2.5.2 Null- und Polstellen

Zunächst sei auf eine Konsequenz von Gleichung 2.28 im Hinblick auf die Pol- und Nullstellen der Drosselung eingegangen.²³ Sie führt sofort zu der Schlußfolgerung, daß diese nicht unabhängig voneinander sind. Setzt man in die Beziehung nämlich beispielhaft eine Nullstelle $ω∘(νD)$ von $C (ω;k)$ ein, dann gilt:

Folglich muß die linke Seite in Gleichung 2.28 an der Stelle $(D) 1∕kω∘ν$ einen Pol $(D) ω×μ$ besitzen. Der Zusammenhang zwischen den Null- und Polstellen der Dämpfung ist demzufolge durch folgende Beziehung charakterisiert:

2.5 CAUER-Tiefpaß

2.5.1 Amplitudencharakteristik

2.5.2 Null- und Polstellen