Bessel-Tiefpaß

2.6 Bessel-Tiefpaß

Der BESSEL- bzw. THOMSON-Tiefpaß ist vom Syntheseansatz her kein System mit dem Ziel der Selektion von Frequenzanteilen (wie die vorangegangen Filter), sondern eher als verzerrungsarmes Übertragungssystem zu verstehen. Approximiert wird dabei die Übertragungsfunktion $H(s)$ eines idealen LTI-Systems bzw. dessen linearen Phasengang [Tho49, Sto51].

δ (t− t0)o-o H (s)= e− st0 ⇒ e−jωt0

Die Verzögerungszeit $t0$ ignorierend konzentrieren wir uns zuerst auf die Darstellungsmöglichkeiten der Exponentialfunktion $ex$ durch Hyperbelfunktionen

ex = sinh x+ cosh x

und deren Reihenentwicklungen.

2 4 6 1+ x- + x-+ x- +⋅⋅⋅ cothx = coshx = ---2!3---4!5--6!7----- sinh x x+ x- + x-+ x-+ ⋅⋅⋅ 3 5! 7!

Bricht man die Reihen für $sinhx$ und $coshx$ nun einfach nach einer beschränkten Anzahl von Gliedern ab, dann

wird wahrscheinlich das Konvergenzverhalten, insbesondere für Werte $x> 1$ , unbefriedigend
und die Näherung für $x e$ unter Umständen kein HURWITZ-Polynom²⁴ (als Bedingung für stabile Systeme) sein.

Besser ist an dieser Stelle eine Kettenbruchentwicklung – mit den vorteilhaften Eigenschaften:

daß der wahre Wert mit wachsender Anzahl von Gliedern (abwechselnd von oben und unten) immer genauer genähert wird
und (wie noch zu sehen sein wird) der Kettenbruch eine zulässige Systemfunktion repräsentiert.

Durch eigene Rechnung oder Verwendung eines geeigneten Nachschlagewerks erhält man aus der Reihenentwicklung den folgenden Kettenbruch des hyperbolischen Cotangens:

cothx = 1+ ------1------. x 3 1 -+ ---------- x 5- --1--- x + 7 -+ ⋅⋅⋅ x

(2.30)

Bricht man diese Entwicklung nach $n$ Schritten ab, so kann man daraus eine rationalen Bruch $cothx ≈ Pn∕Qn$ bestimmen. Durch vollständige Induktion kann verifiziert werden, daß Zähler und Nenner den Rekursionsformeln

gehorchen.²⁵ Berücksichtigt man die Anfangswerte $P0$ , $Q0$ , $P−1$ und $Q− 1$ , dann lassen die Formeln sofort erkennen, daß das Zählerpolynom $Pn$ nur gerade Potenzen von $x$ enthält, das Nennerpolynom $Qn$ dagegen alle Ungeraden.

Kommen wir nun zurück zur Approximation von $ex$ und interpretieren $Pn$ und $Qn$ als Näherung für Zähler und Nenner in

coshx Pn- cothx = sinhx ≈ Qn

und in Konsequenz als Summenterme in der Exponentialfunktion

ex = coshx+ sinhx≈ Pn +Qn = (2n − 1) (Pn−1+ Qn −1)+ x2(Pn−2 + Qn−2).

Die Summe (und gleichzeitig Berechnungsvorschrift auf der rechten Seite) nennt man BESSEL-Polynom vom Grad $n$ .

Die ersten BESSEL-Polynome sind demzufolge

Mit der so gewonnen Näherung für $ex$ kann man als Übertragungsfunktion des verzerrungsarmen Systems

H(s)= -b0--= -----------b0---------- Bn(s) bnsn+ ⋅⋅⋅+b2s2+ b1s+ b0

(2.32)

angeben, wobei $b0$ nur zum Zwecke der Normierung auf $H(0)= 1$ hinzugefügt wurde. Da in der Kettenbruchentwicklung des Quotienten $Pn∕Qn$ nach Formel 2.30 alle linksseitigen Summanden $(2n− 1)∕s$ positive Koeffizienten ( $2n − 1$ ) haben, handelt es sich bei $Bn(s)$ wirklich um ein HURWITZ-Polynom [Cau54, VIII-15b], [Fri79b, 3.1.3], [Che95, 44.5].²⁶

Einen typischen Frequenzgang nach Gleichung 2.32 zeigt Abbildung 2.8. Recht gut zu erkennen ist dabei der relativ lineare Phasengang, welcher sich im Nullpunkt als maximal flache Gruppen- bzw. Signallaufzeit präsentiert.

(a) Amplitudengang (b) Phasengang

Abbildung 2.8:

Typischer Frequenzgang eines BESSEL-Filters ( $n = 4$ )