Restklassenringe

3.2 Restklassenringe

Um von einem Restklassenring $(Rm,+,⋅)$ sprechen zu können ist der Nachweis aller Ringaxiome von Abschnitt 1.2 in Bezug auf die Menge der Restklassen $Rm$ notwendig [Wel01, 5.]. Dazu geht man von der Modulo-Arithmetik nach Gleichung 3.1 und 3.2 aus und prüft jeden Punkt durch Einzelbetrachtung:

Bezüglich der Addition muß eine ABEL’sche Gruppe bilden, d. h.
1. die Addition existiert und ist abgeschlossen;¹⁸
2. sie ist außerdem sowohl assoziativ als auch kommutativ (ABEL’sch); $[r ] + ([r ] + [r ] )= ([r] + [r] )+ [r] = [r ] + [r] + [r] 1m 2m 3 m 1 m 2m 3m 3 m 2 m 1m$
3. das neutrale Element $e(+) = [0]m = mq0$ existiert; $[r]m + [0]m = (a− mq + mq0) mod m = [a − m (q− q0)] mod m = a mod m = [r]m$
4. jedes Element besitzt ein inverses Element $− [r]m = (m − a) mod m$ mit $[r]m+ (− [r]m )= a mod m + (m − a) mod m = m mod m = [0]m.$
Für die Multiplikation muß eine Halbgruppe darstellen, also
1. ebenfalls abgeschlossen sein;
2. und das Assoziativgesetz für $[ri]m ∈Rm$ erfüllen; $[r] ⋅([r] ⋅[r ]) = ([r ] ⋅[r ] )⋅[r ] 1m 2m 3m 1m 2m 3m$
Außerdem muß für alle $[r]m ∈ Rm$ das Distributivgesetz erfüllt sein.

Da $(Rm,⋅)$ ein neutrales Element $e(⋅)$ mit $[r]m ⋅e(⋅) = [r]m$ besitzt, handelt es sich sogar um einen Ring mit Eins.

[r] ⋅[1] = (r⋅1) mod m = r mod m = [r] m m m

Aus Anwendungssicht ist sofort zu erkennen, daß insbesondere die Restklassen $R = ℤ m m$ alle diese Bedingungen für $m ≥ 2$ erfüllen und somit einen kommutativen Ring mit Einselement bilden.