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1.2 Ringe

Eine Menge R nennt man einen Ring (R,+,⋅)  , wenn auf ihr sowohl Addition als auch Multiplikation mit R × R→  R erklärt sind [PW72, 2.2]. Speziell müssen folgende Axiome gelten:

  1. Bezüglich der Addition bildet R eine ABEL’sche Gruppe (R,+ )  .
  2. (R,⋅)  ist eine so genannte Halbgruppe,4 d. h.
  3. Außerdem muß für a,b,c∈ R das Distributivgesetz gelten a ⋅(b + c)= ab+ ac .

Existiert zusätzlich noch die Identität e(⋅) = 1 ∈ R mit a⋅1 = 1⋅a = a für alle a∈ R , dann wird (R,+, ⋅)  Monoid oder Ring mit Eins genannt. Die Menge der Elemente r ∈ R in einem Monoid, welche mit r⋅r− 1 = e(⋅)  jeweils ein inverses Element besitzen, nennt man Einheitengruppe R∗ des Ringes. Ein Ring wird außerdem als kommutativ bezeichnet, wenn auch für die Multiplikation das Kommutativgesetz a⋅b = b⋅a gilt. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Ring (ℤ,+, ⋅)  der ganzen Zahlen, denn er erfüllt offensichtlich alle Axiome.