Ringe

1.2 Ringe

Eine Menge $R$ nennt man einen Ring $(R,+,⋅)$ , wenn auf ihr sowohl Addition als auch Multiplikation mit $R × R→ R$ erklärt sind [PW72, 2.2]. Speziell müssen folgende Axiome gelten:

Bezüglich der Addition bildet $R$ eine ABEL’sche Gruppe $(R,+ )$ .
ist eine so genannte Halbgruppe,⁴ d. h.
- $(R,⋅)$ ist abgeschlossen ( $⋅:R× R → R$ )
- und es gilt das Assoziativgesetz $a⋅(b⋅c)= (a ⋅b)⋅c$ für $a,b,c∈ R$ .
Außerdem muß für $a,b,c∈ R$ das Distributivgesetz gelten $a ⋅(b + c)= ab+ ac$ .

Existiert zusätzlich noch die Identität $e(⋅) = 1 ∈ R$ mit $a⋅1 = 1⋅a = a$ für alle $a∈ R$ , dann wird $(R,+, ⋅)$ Monoid oder Ring mit Eins genannt. Die Menge der Elemente $r ∈ R$ in einem Monoid, welche mit $r⋅r− 1 = e(⋅)$ jeweils ein inverses Element besitzen, nennt man Einheitengruppe $R∗$ des Ringes. Ein Ring wird außerdem als kommutativ bezeichnet, wenn auch für die Multiplikation das Kommutativgesetz $a⋅b = b⋅a$ gilt. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Ring $(ℤ,+, ⋅)$ der ganzen Zahlen, denn er erfüllt offensichtlich alle Axiome.