Inverser Tschebyscheff-Tiefpaß

2.4 Inverser TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß

2.4.1 Amplitudencharakteristik

Der TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß vom Typ II ist ebenfalls eine Anwendung der TSCHEBYSCHEff-Funktionen erster Art – diesmal aber so, daß eine Welligkeit im Durchlaßbereich vermieden wird, dafür aber Dämpfungsminima im Sperrbereich hingenommen werden müssen [Fri79a, 2.2.1.1]. Aus mathematischer Sicht handelt es sich um eine Bestapproximation der “Konstanten” Unendlich für alle Frequenzen größer als die Sperrfrequenz $ωs$ (siehe auch Abschnitt 2.1.2). Äquivalent dazu kann man die Forderung formulieren, daß $1∕D (ω)$ im Sperrbereich die Nullinie bestmöglich nähern möge.¹⁶ Weil das (Best-) Approximationsintervall der TSCHEBYSCHEff-Funktionen im vorgenannten Sinne aber $[− 1,+1 ]$ ist, muß eine entsprechende Abbildung auf den Sperrbereich erfolgen.¹⁷ Aus diesen logischen Überlegungen heraus kann man die Drosselungsfunktion für den inversen TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß ableiten.

Tn(ωs) D (ω) = σT--(ω--∕ω). n s

(2.21)

Wie $D(ω )$ sich auf der Grundlage von Formel 2.1 in einem typischen Dämpfungsverlauf darstellt zeigt Abbildung 2.6. Die maximale Dämpfung im Durchlaßbereich liegt an der normierten Grenzfrequenz $ωg = 1$ und hat den Wert:

[ 2 ] ( 2) Amax = 10 log 1 + D (1) = 10log 1 +σ .

Die minimale Dämpfung im Sperrbereich (inklusive $ωs$ ) wird durch die Funktionswerte $± 1$ an den Extremstellen von $Tn(x)$ bestimmt (vgl. Anhang ??).

[ ] [ ] [ ] Amin = 10log 1+ D2(ωs) = 10log 1+ σ2T2n(ωs) = 10log 1+ σ 2cosh2(narcoshωs)

Die zugehörigen $x$ -Werte liegen bei $cos(kπ ∕n)$ , also bezüglich $Tn (ωs∕ω )$ an den Stellen $ωs∕ cos(kπ ∕n)$ . Die immer dazwischen liegenden Dämpfungsmaxima werden durch die Nullstellen der TSCHEBYSCHEff-Funktion erzeugt und sind deshalb bei $ωs∕cos[(k− 1∕2 )π ∕n]$ lokalisiert. Kombiniert man (wie beim TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß vom Typ I) auch hier beide Ausdrücke, so erhält man die Frequenzen $ωk$ nach Abbildung 2.6.

( π) ωk = ωs sec k-- , k= 0,1,2,...,n − 1 2n

Abbildung 2.6:

Dämpfungsverlauf des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß Typ II

Aufgrund der für $ω → ∞$ geltenden Tatsache

{ lim D(ω )= σ Tn(ωs)= ∞ (n ungerade) ω→ ∞ Tn (0) ± σTn (ωs) (n gerade)

werden praktisch meist Tiefpässe mit ungeradem Grad bevorzugt.

2.4.2 Nullstellen

Im Gegensatz zum ersten Typ des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß besitzt $H(s)$ hier Nullstellen, die wegen der Dämpfungsextrema im Sperrbereich sogar auf der $jω$ -Achse liegen müssen. Um sie zu bestimmen bilden wir (wie üblich) zuerst das Betragsquadrat der Übertragungsfunktion $H(jω)$ , gehen dann in den LAPLACE-Bildbereich über

2 H (s)H(− s) = ----------1-----------= ------Tn(jωs-∕s)------ 1+ σ 2T2n(ωs)∕T2n(jωs∕s) T2n(jωs∕s)+ σ 2T2n(ωs)

(2.22)

und setzen den Zähler Null.

( ω ) T2n j--s = 0 s

Von der Betrachtung der Extremwerte her (vgl. voriger Abschnitt oder Anhang ??) ist schon bekannt, daß die Nullstellen von $Tn (x)$ bei

( ) ωs- 2ν-−-1 π- x∘ν = jsν = cos 2 ⋅n ∘

liegen und deshalb bezüglich $s$ bei

( ) s∘ν = jωs sec 2ν-−-1⋅ π , ν = 1,2,...,n − 1,n. 2 n

(2.23)

Für den Fall eines Filters mit ungeradem Grad ist jedoch zu beachten, daß wegen $cos(π∕2) = 0$ die Nullstelle für $ν = (n+ 1)∕2$ im Unendlichen zum Liegen kommt. Aus diesem Grund kann sie nicht als solche angesehen werden, sondern eher als Hinweis, daß der Grad des Zählerpolynoms von $H(s)$ größer als der des Nennerpolynoms ist.¹⁸

2.4.3 Polstellen

Zur Ermittlung der Pole von $H(s)$ kann man entweder formal die Polstellenbedingung für Gleichung 2.22 formulieren oder (was dasselbe ist) den höheren Zusammenhang zwischen Drosselung und Übertragungsfunktion nach Formel 2.1 berücksichtigen. Wählt man letzteren Ansatz, dann ist sofort erkennbar, daß alle Pole durch die Beziehung $D (s∕j)= ±j$ charakterisiert sind. Nehmen wir also die Drosselungsfunktion dieses Filtertyps nach Gleichung 2.21 und formulieren als Bedingung:

( ) σ Tn(ωs)= ±jTn jωs- . s

Wegen der Ähnlichkeit mit Gleichung 2.18 des Typ I Tiefpaß substituieren wir $′ s = − ωs ∕s$ und $1∕σ ′ = σ Tn(ωs)$ und erhalten:

( s′) 1 Tn -- = ±j--′. j σ

Nun steht einer Wiederverwendung der in Abschnitt 2.3.2 gewonnenen Lösung

( ) ( ) s′ν = − αH sin 2ν-−-1⋅ π + jωH cos 2ν−-1-⋅ π × 2 n 2 n

(2.24)

nichts mehr im Wege. Wir ersetzen nur noch die Zwischenvariablen (mit Strich) und erhalten für die Pole:¹⁹

-------------------ωs------------------- s×ν = ( 2ν− 1 π) (2ν − 1 π ) , ν = 1,2,...,n − αH sin --2---⋅n- + jωH cos ---2--⋅-n

sowie die Halbachsen (mit $2 2 ω H − α H = 1$ ) der elliptischen Verteilung:

Man verifiziert an Hand der Formeln, daß die Lage der Polstellen qualitativ dieselbe wie beim ersten Typ des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß (siehe Abbildung 2.5) ist.