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2.5  CAUER-Tiefpaß

2.5.1  Amplitudencharakteristik

W. CAUER hat unter anderem das Problem der Bestapproximation des idealen Tiefpaß-Amplitudengangs bzw. der charakteristischen Funktion (Drosselung) in seinen Arbeiten untersucht [Cau54]. Dabei ist er in wissenschaftlicher Art und Weise von der elektrotechnischen Problemstellung zur mathematischen Lösung gelangt. Wir wollen hier (der Kürze halber) auf die Erkenntnisse zu den elliptischen Haupt-Transformationen höherer Ordnung zurückgreifen, welche im Anhang ?? dargestellt sind.

Für die Drosselungsfunktion D (ω )  gibt es in der Literatur die verschiedensten Darstellungen [Cau54VU89Mil92Zve67Pil54Fri79aChe95], welche sich aber immer nur in der Skalierung von Amplituden- und Frequenzachse unterscheiden. Im Folgenden werden die Lösungsformeln ?? und ?? der ersten elliptischen Haupt-Transformation nach C. G. J. JACOBI als Ausgangspunkt dienen, die grundsätzliche Argumentation sich aber auf E. I. SOLOTAREff und dessen drittes Approximationsproblem stützen.20

Wir gehen also von den genannten Gleichungen ?? und ?? aus und definieren eine Funktion:21

         (|      n−1    1 − x2-
         ||||  x-       ------a2ν--       (n ungerade)
         {  M ν=∏2,4,6,...1 − k2a2νx2
C (x;k) = |    n− 1    1− x2
         ||||         -----a2ν--         (n gerade)
         ( ν=1∏,3,5,...1− k2a2νx2
(2.26)

mit den Koeffizienten
      (  K- )
aν = sn ν n;k .

Der Parameter k wird das (elliptische) Modul genannt, welches auch häufig als Modulwinkel k = sinΘ  anzutreffen ist. Der Multiplikator M ist ein nach Formel ?? (Seite ??) berechneter Vorfaktor. Die zur Berechnung der Koeffizienten benötigte Größe K ist das sogenannte elliptische Integral erster Art K = K(k)  nach Anhang ??. Mit sn  wird der elliptische Sinus (vgl. Anhang ??) abgekürzt.

Der Verlauf von C (x;k)  ist in den Abbildungen ?? und ?? von Anhang ??, welcher sich schwerpunktmäßig mit den Eigenschaften genau dieser elliptischen Transformationsfunktion(en) auseinandersetzt, dargestellt. C(x;k)  ist hier vor allem deshalb von besonderem Interesse, da sie der Approximationsvorschrift eines CAUER-Tiefpaß’, nämlich der gleichmäßigen Approximation des Dämpfungs- bzw. Amplitudenverlaufs im normierten Frequenzbereich 0 ≤ ω ≤ 1  und ωs ≤ ω ≤ ∞ , genau entspricht (vgl. SOLOTAREff’s drittes Problem in Anhang ??). Wir setzen aus vorgenannten Gründen die skalierte Funktion C(ω;k)  als Drosselung an

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und erhalten für die Amplitudencharakteristik
              1
H(ω )= ∘---------------.
          1+ σ2C2(ω; k)
(2.27)

Mit den ebenfalls aus Anhang ?? bekannten Werten
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lassen sich die Dämpfungswerte Amax   und Amin   aus dem Tiefpaß-Toleranzschema von Abbildung 2.1 angeben.

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Variation des Parameters k zeigt, daß er die Steilheit im Übergangsbereich 1 < ω < ωs  , aber auch die Welligkeit im Durchlaßbereich bzw. Mindestdämpfung im Sperrbereich wesentlich beeinflußt. In Abbildung 2.7 ist der Dämpfungsverlauf eines CAUER-Tiefpaß für geraden und ungeraden Grad n dargestellt.


PIC (a) Grad gerade (n= 6  )
PIC (b) Grad ungerade (n= 7  )

Abbildung 2.7: Dämpfungsverlauf des CAUER-Tiefpaß


Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang eine Eigenschaft von Gleichung 2.26, welche ebenfalls der Transformationstheorie (vgl. Formel ?? dort) der elliptischen Funktionen von JACOBI entspringt.22

C (1-;k)=  ---1----
   kω      λC (ω; k)
(2.28)

2.5.2  Null- und Polstellen

Zunächst sei auf eine Konsequenz von Gleichung 2.28 im Hinblick auf die Pol- und Nullstellen der Drosselung eingegangen.23 Sie führt sofort zu der Schlußfolgerung, daß diese nicht unabhängig voneinander sind. Setzt man in die Beziehung nämlich beispielhaft eine Nullstelle ω∘(νD)  von C (ω;k)  ein, dann gilt:

-----1---- ⇒ ∞.
λ C(ω∘(Dν) ;k)

Folglich muß die linke Seite in Gleichung 2.28 an der Stelle      (D)
1∕kω∘ν  einen Pol   (D)
ω×μ  besitzen. Der Zusammenhang zwischen den Null- und Polstellen der Dämpfung ist demzufolge durch folgende Beziehung charakterisiert:

 (D) (D)   1-
ω∘ν ω×μ =  k.
(2.29)