Spektrale Leistungsdichte

4.4 Spektrale Leistungsdichte

Machen wir nun einen weiteren Schritt von den Zufallsprozessen zu Zufallssignalen, der aber eher eine Notationsfrage als etwas Grundsätzliches ist.²⁹ Dabei stellen wir die Frage nach der spektralen Leistungsdichte eines stationären, ergodischen Zufallsprozesses, also nach infinitesimalen Leistungsanteilen in einem Frequenzbereich $df$ (bzw. $dω$ ), der einem Zufallssignal $x(t)$ zugeordnet ist. Von Gleichung 53 wissen wir, daß für die Gesamtleistung $P$ von $x(t)$ die Formel

∫ P = φxx(0)= lim 1- x2(t)dt T →∞ T T

gilt. Aus dem Gebiet der Harmonischen Analyse ist außerdem bekannt, daß die spektrale “Leistungsamplitude” an der (Kreis-) Frequenz $ω$ durch $2 2 |X (jω )|= |ℱ {x(t)}|$ gekennzeichnet ist. Die FOURIER-Transformation als uneigentliches Integral

∫ ∞ X (ω)= x(t)e−jωtdt −∞

muß für die Existenz von $X(ω )$ aber konvergieren, was man bei Zufallsprozessen wegen $∫ ∞ 2 − ∞x (t)dx(t) ⇒ ∞$ normalerweise nicht gewährleisten kann. Trotzdem kann man für diesen Fall (mitunter durch Einsatz der DIRAC-Funktion) eine Größe entwickeln, die spektrale Leistungsdichte $Sxx(ω )$ des Zufallsprozesses $X(t)$ genannt wird. Dazu bilden wir die FOURIER-Transformierte der Autokorrelationsfunktion

∫ T∕2 ℱ {φxx(τ)} = lim φxx(τ)e−jω τdτ T→ ∞ −T∕2

und ersetzen mit Hilfe von Formel 52 formal $φxx(τ)$ .

Nun wird die Integrationsreihenfolge vertauscht und danach $u= t+ τ$ substituiert.³⁰

Auch wenn das FOURIER-Integral $X (jω )$ selbst nicht konvergiert, so ist doch $−1 2 limT→ ∞T |X(jω )|$ bzw. $−1∫ 2 limT →∞ T x (t)dt$ endlich.³¹

ℱ {φ (τ)} = lim 1-|X(jω)|2 = Sxx(ω ) xx T→ ∞T

(57)

Man nennt den so gewonnen Ausdruck die spektrale Leistungsdichte $Sxx(ω)$ des Zufallsprozesses bzw. das WIENER-CHINTCHIN-Theorem [Kan73, 7.2], [Sch90, 7.3]. Interessant ist auch, daß sich diese Gleichung (57) ganz einfach ergibt, wenn man den Faltungssatz³² der Fourier-Transformation auf die Form der Autokorrelationsfunktion von Formel 55 anwendet.

{ } ℱ {φ (τ)}= ℱ lim 1-x(t)∗x(− t)| = lim 1-ℱ {x(t)∗x(− t)} = lim 1X (− jω)X (jω ) xx T→ ∞T t=τ T→ ∞T T→∞ T

Die Grundaussage des Satzes von WIENER und CHINTCHIN, nämlich das die spektrale Leistungsdichte mit der Autokorrelationsfunktion über die FOURIER-Transformation verbunden ist, rechtfertigt natürlich auch die Umkehrformel:

(−1) ℱ {Sxx(ω)} = φxx(τ)

bzw. symbolische Darstellung der FOURIER-Transformation.

oℱ-o φxx(τ) Sxx(ω)

Die spektrale Leistungsdichte eines Zufallsprozesses hat einige interessante Eigenschaften:

Da (schon) die Autokorrelationsfunktion eine gerade Funktion ist, muß die spektrale Leistungsdichte $Sxx(ω )$ reelwertig und positiv sein.³³
Die mittlere Leistung $P$ des stochastischen Prozesses kann durch Integration über die gesamte spektrale Leistungsdichte $Sxx(ω )$ gewonnen werden. $∫ ∞ P = -1- Sxx(ω )dω 2π −∞$

Für diesen Nachweis geht man am Besten von der bekannten Beziehung $P = φxx(0)$ aus.
$(−1) 1 ∫ ∞ jωτ 1 ∫ ∞ P = φxx(0)= lτim→0ℱ {Sxx(ω )}= τli→m0 2π- −∞Sxx(ω) e dω = 2π-− ∞Sxx(ω )dω$
Nach Punkt 2 kann man $Sxx(ω )$ auch wirklich als Leistungsdichte auffassen, wenn man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hinzuzieht.³⁴ $dP-= Sxx(ω-)= Sxx(f) dω 2 π$