Minimalphasig nennt man Systeme, die in der rechten -Halbebene weder Pole noch Nullstellen
besitzen [Pap62, 10-3]. Für rationale Übertragungsfunktionen bedeutet diese Eigenschaft, daß
Nenner und Zähler von
HURWITZ-Polynome sein müssen. Die Freiheit von Polen bzw.
Nullstellen für
machen
und
auf diesem Gebiet zu analytischen
Funktionen.20
Unter solchen Voraussetzungen ist man in der Lage,
zu logarithmieren und dabei
die Holomorphieeigenschaft trotzdem zu bewahren. Bezeichnen wir
, so
kann man nach Beziehung 1.10 und 1.11 einen determinierten Zusammenhang zwischen
Dämpfung
und Phase
angeben.21
Eine wichtige Voraussetzung für die Anwendbarkeit beider Formeln ist nach dem Lemma von JORDAN
allerdings . Im Allgemeinen kann man von dieser Voraussetzung jedoch nicht
ausgehen, so daß genau wie in den Beziehungen 1.24 die Dämpfung
zu berücksichtigen
ist [Fri81, 5.3.1.2].
Praktisch kann man jedes LTI-System mit rationaler Übertragungsfunktion
als Kettenschaltung eines Allpaß- und eines Minimalphasensystems verstehen [Pap62,
10-3], [Mar95, 5.2], [Wun62, 3.14], [Fri79a, 3.5]. Spalten wir dazu die Zählerfunktion
so auf, daß alle Nullstellen mit negativem Realteil in
liegen, die mit positivem in
.
Einfache Erweiterung mit dem HURWITZ-Polynom ergibt
![]() | (1.25) |
d. h. die Zerlegung in
betrachtet. Denn würde der Anteil des Allpaß’ vermieden, so reduzierte sich das Gesamtsystem auf ein Minimalphasensystem.
Um die Problematik etwas anschaulicher zu gestalten, hier ein Beispiel aus [Pap62, 10-3].
Wie sofort erkennbar, handelt es sich um ein stabiles System mit den Polen und
. Die Nullstelle des Allpaß’ bei
hat einen positiven Realteil, ist also
richtig zugeordnet. Obwohl insgesamt
gilt (JORDAN-Bedingung),
verschwindet die Amplitude des Allpaß-Anteils
im Unendlichen
nicht.23
Auch die Partialbruchzerlegung für
deutet einerseits auf Stabilität (speziell auch
),
andererseits auch auf Kausalität (
für
) hin.
Beide als Kettenschaltungen anzusehende Übertragungsfunktionen
haben voneinander abhängige Real- und Imaginärteile, wie man mit der Transformationsbeziehung
feststellt.
Trotzdem besteht ein fester Zusammenhang zwischen Dämpfungs- und Phaseverlauf nur für den
Minimalphasenteil , nicht für
insgesamt. Der Allpaß-Anteil sorgt insbesondere dafür,
daß sich die Phase um den Betrag
erhöht.