Stabilitat

1.3 Stabilität

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die (asymptotische) Stabilität eines linearen, zeitinvarianten Systems besteht darin, daß unter der Voraussetzung eines endlichen Eingangssignals $|x(t)|< M < ∞$ das Ausgangssignal sowohl im Zeitbereich ( $|y(t)|< ∞$ ) als auch Bildbereich ( $|Y(jω)|< ∞$ ) beschränkt ist [Kre79, 1.2.1], [Wun62, 2.11]. Im Zeitbereich kann daraus relativ schnell eine Bedingung an die Impulsantwort des Systems abgeleitet werden, wenn man für das Integral in Formel 1.1 absolute Konvergenz fordert [Mil81, 1.4.5].²

Im Zeitbereich fordert man deshalb für die Impulsantwort eines stabilen LTI-Systems:

∫ ∞ −∞ |h(t)|dt < ∞,

(1.2)

was gleichzeitig die Existenz des FOURIER-Integrals $H (jω )= ℱ {h(t)}$ sichert [Wax62], [Mil81, 2.3.1], [WW27, § $4 ⋅43$ ], [Pap62, 2-1].

Eine davon abgeleitete Forderung bei rationaler $ℒ$ -Übertragungsfunktion

amsm + ⋅⋅⋅+ a2s2+ a1s+ a0 H (s)= b-sn+-⋅⋅⋅+-b-s2+-b-s+-b-- n 2 1 0

(1.3)

ist die, daß alle Polstellen negative Realteile aufweisen müssen (HURWITZ-Polynom) und der Grad des Zählerpolynoms höchstens so groß wie der des Nenners sein darf. Nur so kann (in einer ersten Betrachtung für $n> m$ ) gewährleistet werden, daß die Partialbruchzerlegung

---c1---- ---c2---- H (s) = (s− s1)μ1 + (s− s2)μ2 + ⋅⋅⋅ × ×

(1.4)

bei der Rücktransformation in den Zeitbereich zu einer beschränkten Impulsantwort führt [Sto92, 2.5.4], [Che95, 44.2], [Kör88, 76]

h(t)= ---c1---tμ1−1es×1t+---c2---tμ2−1es×2t+ ⋅⋅⋅ (μ1− 1)! (μ2 − 1)!

(1.5)

und wegen

ltim→∞h (t)= lsi→m0s H(s)= 0

im Unendlichen sogar verschwindet.

Sollte jedoch $n= m$ gelten, dann kann $H(s)$ in die Summe aus einer echt gebrochen rationalen Funktion (auf welche wieder die Formeln 1.4 und 1.5 zutreffen) und einer Konstante $an∕bn$ zerlegt werden.³