Wirkung im Frequenzbereich

1.2 Wirkung im Frequenzbereich

Das Spektrum $M(ω )$ des Modulationsprodukts kann man ausgehend von Formel 1 oder von Formel 2 ermitteln [Osw56, Bed62, Pap67, Pro01].

Reelle Darstellung Gehen wir in der Betrachtung zunächst von Formel 1 aus und berücksichtigen die Transformationsbeziehungen:

sowie den Faltungssatz der FOURIER-Transformation. Dann ergeben sich für die Modulationsprodukte der I/Q-Signale die folgenden Spektralverhältnisse:³

Beachtenswert (aber auch logisch) dabei ist, daß beide Spektren orthogonal zueinander stehen. Es liegt deshalb nahe diese als getrennte Kanäle anzusehen und auch verwendbar zu machen – worauf bei der Demodulation noch zurückzukommen sein wird.

Zu guter Letzt steht noch die Addition beider Komponenten aus:

M(ω )= 1-[X(ω − ω0)+ jY (ω − ω0 )+ X(ω + ω0)− jY(ω + ω0)] . 2

(5)

Komplexe Darstellung Geht man von der komplexen Darstellung in Formel 2 aus, dann läßt sich das Spektrum durch (mehrfache) Anwendung der Modulationsformel $jω0t o--o g(t)e G (ω− ω0 )$ ermitteln. Definieren wir dazu eine Zwischengröße $jω t jωt jω t w(t)= z(t) e 0 = x(t)e 0+jy(t)e 0$ sowie deren Konjugiert-Komplexe $w ∗(t)= z∗(t)e−jω0t$ und bestimmen die zugehörigen FOURIER-Transformierten:⁴

Mit $1 ∗ m(t)= Re{w (t)} = 2[w(t) +w (t)]$ ergibt sich jetzt das Spektrum zu: