Vektorraum

1.4 Vektorraum

Eine Menge von Vektoren $V := {v1,v2,v3,...}$ , jeder bestehend aus einem geordneten $n$ -Tupel von Elementen $a$ aus einem Körper $K$ , wird Vektorraum über dem Körper $K$ genannt (vgl. [PW72, 2.5]), wenn:

die additive Gruppe $(V,+)$ existiert und vom ABEL’schen Typ ist ( $+ :V × V → V$ );⁷
für jeden Vektor $v ∈ V$ die Multiplikation mit einem Körperelement (Skalar) $a$ definiert ist und wieder zu einem Vektor $u = av∈ V$ führt (Abgeschlossenheit der Abbildung $⋅ :K× V → V$ );⁸
bezüglich zweier Skalare $a,b$ und der Vektoren $u,v$ die folgenden Distributivgesetze gelten:
das Assoziativgesetz $(ab)v= a(bv)$ gilt;
und es ein multiplikativ neutrales Element in Bezug auf die Vektoren in $V$ gibt.

Wenn mit $n$ die Anzahl der Tupel eines Vektors $v$ bezeichnet wird, dann nennt man den zugehörigen Vektorraum (über dem Körper $K$ ) üblicherweise $V (K) n$ oder kurz $V = Kn$ , also z. B. $ℝ3$ oder $ℤn 2$ . Entsprechend ist auch das neutrale Element, welches als $0= (0,0,...,0)$ geschrieben wird, ein Vektor mit $n$ Elementen.