Korper

1.3 Körper

Ein Körper $K$ wird durch ein System von Elementen (endlich oder unendlich) gebildet, die sich durch die definierten Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verknüpfen lassen⁵ und für die das Distributivgesetz gilt [PW72, 2.3]. Präziser ausgedrückt:

$(K, +,⋅)$ ist ein kommutativer Ring (zu den Eigenschaften vgl. Abschnitt 1.2);
$(K ∖{0},⋅)$ ist eine kommutative Gruppe, d. h. alle Elemente ausgenommen $0$ (auch geschrieben als $∗ K = K ∖ {0}$ ) müssen ein inverses Element besitzen.⁶

Die bekanntesten Körper sind die der

reellen Zahlen $(ℝ,+, ⋅)$ ,
komplexen Zahlen $(ℂ, +,⋅)$ ,
rationalen Zahlen $(ℚ, +,⋅)$
sowie der endliche Körper $ℤ2 := {0,1}$ .

Eine Menge von Funktionen über einem Körper $K$ kann selbst auch wieder ein Körper sein, z. B. die Menge der rationalen Funktionen $ℝ(x)$ über $ℝ$ , geschrieben als $(ℝ (x),+, ⋅)$ .