Gruppen

1.1 Gruppen

1.1.1 Allgemeine Definition

Eine Gruppe² $(G,◇)$ ist ein algebraisches System, daß aus einer nicht-leeren Menge von Elementen $G$ besteht, für die eine Operation $◇$ mit folgenden Eigenschaften definiert ist [PW72, 2.1], [Kör88, 101 ff.]:

die Anwendung der Operation $◇$ auf zwei Elemente muß wieder zu einem Element in $G$ führen (Abgeschlossenheit): $◇:G × G → G$ ;
für alle $a,b,c∈ G$ muß gelten: $a ◇(b◇ c) = (a◇b)◇ c$ (Assoziativität);
ein neutrales Element $e∈ G$ muß existieren, so daß gilt: $a◇e = a$ mit $a∈ G$ (Identität);
für jedes Element $a∈ G$ muß ein inverses Element $b∈ G$ existieren, so daß $a◇b = e$ gilt.

Die Menge $G$ kann aus einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Elementen $ai$ bestehen. Bei einer Aufzählung der Elemente werden diese in geschweifte Klammern eingeschlossen, z. B. so: ${a1,a2,...}$ . Ist die Zusatzbedingung $a◇ b= b◇ a$ erfüllt, wird die Gruppe kommutativ bzw. ABEL’sch genannt.

Die Ordnung (auch Mächtigkeit oder Kardinalität) einer Gruppe ist die Anzahl der Elemente in $G$ , geschrieben als $ord(G )$ , $|G |$ oder auch $#G$ . Ist $U$ eine Teilmenge von $G$ , d. h. $U ⊆ G$ , dann wird $(U,◇)$ als Untergruppe von $(G,◇)$ bezeichnet, wenn mit derselben Operation $◇$ auch $U$ alle Eigenschaften einer Gruppe erfüllt [Bos96, 1.], [PW72, 2.4]. Der Zusammenhang zwischen der Ordnung von $U$ und der von $G$ wird durch den Satz von LAGRANGE beschrieben.

|G|= i|U|

(1.1)

Die Ordnung $|U|$ ist danach ein Teiler von $|G|$ und $i$ der so genannte Index von $G$ über $U$ (bzw. Index von $U$ in $G$ ), welcher auch als $i= |G :U |$ geschrieben wird.³

1.1.2 Additive Gruppen

Entsprechend der allgemeinen Definition wird eine Menge $G$ additive Gruppe $(G, +)$ genannt, wenn für sie

eine assoziative Operation $a+ (b+ c)= (a + b)+ c$ mit $a,b,c∈ G$ definiert ist;
ein neutrales (Null-) Element $e(+ ) = 0∈ G$ mit der Beziehung $a+ 0 = 0+ a= a$ für alle $a ∈ G$ existiert;
und für sie außerdem ein inverses Element $− a∈ G$ zu $a ∈G$ mit der Relation $a + (− a)= 0$ definiert ist.

Das bekannteste Beispiel einer solchen Gruppe ist die der ganzen Zahlen $(ℤ, +)$ .

1.1.3 Multiplikative Gruppen

Für die multiplikative Gruppe $(G, ⋅)$ gilt äquivalent:

eine assoziative Operation $a⋅(b⋅c)= (a ⋅b) ⋅c$ mit $a,b,c∈ G$ ;
ein neutrales (Eins-) Element $e(⋅) = 1∈ G$ mit der Identität $a⋅1 = 1⋅a = a$ für $a ∈ G$ ;
und ein inverses Element $a−1 ∈ G$ zu jedem $a ∈ G$ mit der Relation $a⋅a−1 = 1$

sind definiert. Zur Multiplikation ist zu bemerken, daß nicht-negative Potenzen eines Elements induktiv definiert sind

0 n+1 n a = e(⋅) = 1, a = a ⋅a ,

also durch $n$ -malige Multiplikation.

n a = a◟-⋅a◝⋅◜⋅⋅a◞ n- mal

Das Nullelement $e(+ )$ einer additiven Gruppe kann in einer multiplikativen Gruppe nicht enthalten sein, denn es ist grundsätzlich nicht invertierbar (siehe auch Abschnitt 1.3 zu den Körpern).