Funktion einer eindimensionalen Zufallsgroße

3.1 Funktion einer eindimensionalen Zufallsgröße

Die Transformation der Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsgröße $X$ in eine andere Verteilung, die der Zufallsgröße $Y$ zugeordnet sein soll, wird in der Praxis häufig verlangt. Anwendungen in der Nachrichtentechnik und Signalverarbeitung sind unter anderem:

Berechnung des Quantisierungsrauschens bei nichtlinearen Quantisierungskennlinien (z. B. $μ$ - oder $A$ -Kennlinie);
Transformation von Zufallszahlen-Verteilungen;
Transformation von Rauschverteilungen (Weiß $⇒$ Rosa);
oder die Bestimmung der Amplitudenverteilung analytischer Funktionen [Sch90, 2.5].

Als Modell soll die Transformation der Eingangsgröße $X$ in die Ausgangsgröße $Y$ durch ein System mit der Übertragungsfunktion $y = f(x)$ angenommen werden (vgl. Abbildung 1).

Abbildung 1: Systemmodell

Die Wahrscheinlichkeitsdichte für $X$ soll $pX(x)$ , die für $Y$ entsprechend $pY(y)$ sein. Außerdem wird vorausgesetzt, daß $f(x)$ im Intervall, den $X$ annehmen kann, monoton verläuft.¹³ Angenommen nun, $Y$ nimmt den Wert $y$ an, so ist diesem eindeutig ein Wert $x$ zugeordnet, der von der Zufallsgröße $X$ angenommen wird. Die Dichtefunktion $pX (x)$ gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit $X$ einen Wert im Intervall $[x − dx∕2,x +dx∕2 ]$ annimmt. Unter dieser Bedingung nimmt $Y$ (nach Abbildung 2) aber einen Wert im Intervall $[y− dy∕2,y+ dy∕2]$ mit der gleichen Wahrscheinlichkeit an.

Durch die Streckung (Stauchung) des Intervalls $dx$ über $f(x)$ auf $dy$ muß auch die Wahrscheinlichkeitsdichte im entsprechenden Streckungsverhältnis $|dx∕dy|$ gegenüber $pX(x)$ ab- bzw. zunehmen.

Abbildung 2: Transformationsfunktion

pX (x) | | | | pY (y) = --′---= pX (x)|h′(y)|= pX [h(y)]|h′(y)| |f(x)|

(31)

$h(y)$ ist hierbei die Umkehrfunktion von $f(x)$ und $h′(y)$ deren Ableitung nach $y$ .

Mit $′ |f(x)|= |dy∕dx|$ , also

pY(y)|dy|= pX(x)|dx|

ist der Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen $FX(x)$ und $FY(y)$ nun relativ einfach durch Integration beider Seiten bzw. Anwendung von Definitionsgleichung 6 abzuleiten.

Da an der unteren Grenze immer $FX(a)= 0$ gilt,¹⁴ ergibt sich:

FY(y)= FX [h(y)]

(32)

Die wesentliche Erkenntnis daraus ist, daß die Verteilungsfunktion direkt über die Kennlinie $f(x)$ , die Wahrscheinlichkeitsdichte jedoch über $|f′(x)|$ transformiert wird [?, A.2.1.7.5], [PP02, 5], [Spǎ73, 2.7.1].