Zweite elliptische Haupttransformation, n gerade

4.11 Zweite elliptische Haupttransformation, n gerade

Da hier genau die gleichen Bedingungen wie für den Fall ungerader Ordnung $n$ gelten (vgl. Abbildung 18), sind die meisten Beziehungen ähnlich. Einziger Unterschied besteht generell darin, daß der Grad von Zähler- und Nennerpolynom entsprechend angepaßt werden muß.

n−2 1+ x2- u x μ=∏2,4,6,... a2μ y= sn(M-;λ )= M- ⋅--n−1-------- ∏ 1+ ax22 ν=1,3,5,... ν

(157)

Der Grad des Nennerpolynoms ist $n$ , der des Zählerpolynoms $n− 1$ , was dazu führt, daß sich die Funktion für $x → ∞$ der Nullinie nähert. Dieses Verhalten ist auch im zugehörigen Funktionsverlauf nach Abbildung 20 gut zu erkennen.

Abbildung 20: Zweite elliptische Haupttransformation für $n = 6$

Die Koeffizienten bestimmen sich genauso wie für den Fall ungerader Ordnung $n$ , also wie in Formel 152, zu

( K′ ′) x∘μ = jaμ = jsc μ n ;k , μ = 2,4,6,...,n− 2.

Gleiches gilt für den Multiplikator $M$ , für den ebenfalls nur der Grad von Zähler und Nenner in Gleichung 155 zu korrigieren ist.

( ) n∏−1 sn2 ν K′;k′ ν=1,3,5,...------n----- M = n−2 ( ′ ) ∏ sn2 μ Kn ;k′ μ=2,4,6,...

Anders beim Modul $λ$ , welches (im Gegensatz zum Fall des ungeraden $n$ ) hier nicht durch Evaluation der rationalen Transformationsbeziehung an der Stelle $x= 1$ ermittelt werden kann. Wegen der jetzt geraden Ordnung $n$ ist der Funktionswert dort nämlich $1$ ist und nicht $1∕λ$ (vgl. Abbildung 18). Der Wert $1∕λ$ wird hingegen an den Extremstellen, d. h. bei $uE = (2ν+ 1)K ′∕n,ν ∈ ℤ$ angenommen. Es ist also naheliegend einfach einen dieser Werte $(xE,yE )$ in Beziehung 157 einzusetzen.