Zweite elliptische Haupttransformation, n ungerade

Typisch für die 2. elliptische Transformation ist, daß die imaginäre Periode $2Ω ′ = 2M Λ′$ von $y = g(u∕M;λ )$ genau $n$ -mal die imaginäre Periode $2ω ′ = 2K′$ von $x= h(u;k)$ teilt, die reellen Perioden aber gleich sind ( $n$ -te Teilung der imaginären Periode, vgl. Fall $γ = 1$ , $δ = n$ in Abschnitt 4.5). Es handelt sich bei der Beziehung $λ = ρ (k)$ also ebenfalls um eine Modulgleichung vom Grad $n$ mit dem zugehörigen Periodenverhältnis

Allerdings kommt wegen $γ = 1$ nur der Wert $C = 0$ für die Integrationskonstante (vgl. Abschnitt 4.5) in Frage, damit reelle Funktionswerte auf Wegabschnitt $○2$ in Abbildung 8a bzw. nach Tabelle 5 entstehen.

4.10.2 Funktionsverlauf

Der Funktionsverlauf $y= f(x;k)$ kann mit Hilfe von Abbildung 18 aus dem Verlauf des Parameters $u$ entsprechend der, in Abbildung 8a definierten, Wegabschnitte erklärt werden. Auf Abschnitt $○1$ verlaufen $x$ und $y$ ausgehend vom Ursprung im Wesen gleich. Da im Intervall $K ≤ u≤ K + jK′$ , d. h. auf Teilstück $○2$ , die imaginäre Halbperiode $M Λ′$ von $y = g(u∕M;λ )$ $n$ -mal durchlaufen wird, existieren dort keine reellen Nullstellen oder Pole. Statt dessen alterniert $y= nd(Im (u)∕M; λ′)$ auf dem Weg $1≤ x ≤ 1∕k$ genau $n− 1$ mal zwischen $1$ und $1∕λ$ . Auf dem letzten Teilabschnitt $○3$ strebt $y$ dann kontinuierlich gegen $∞$ .

Der resultierende Funktionsverlauf $y= f (x;k)$ ist in Abbildung 19 dargestellt.

4.10.3 Rationale Lösungsfunktion

Die Form der rationalen Lösungsfunktion $y = f(x;k)$ für die zweite elliptische Haupttransformation bei ungeradem Grad $n$ kann ausgehend von Abbildung 18 sowie den folgenden Überlegungen abgeleitet werden.

Beweis. Die vorangegangenen Überlegungen erlauben es, als Ausgangspunkt für die Lösungsfunktion folgende Form anzugeben.

n− 1 ∏μ=1(x − x∘μ ) y= Ax-n−1------- ∏ (x− x ν) ν=1 ×

Nimmt man die konkreten Werte der Pole und Nullstellen hinzu

und berücksichtigt das betragsmäßig doppelte Auftreten aller Nullstellen und Pole,⁵¹ dann läßt sich die Ausgangsformel konkretisieren.

n−1 (2 2) n−1 2 n−1 x2 μ=2∏,4,6,... x + aμ μ=2∏,4,6,...aμ μ=2∏,4,6,...1 + a2μ y = Ax---n−-2----------= Ax --n−2-----⋅--n−2-------- ∏ (x2 + a2ν) ∏ a2ν ∏ 1 + x22- ν=1,3,5,... ν=1,3,5,... ν=1,3,5,... aν

___

Beweis. Beide Darstellungen sind schnell zu beweisen, wenn man auf jeden Faktor im Zähler bzw. Nenner von Gleichung 151 die Beziehung $sc(K ′− u;k′)= k−1cs(u;k′)$ nach [AS72, 16.8] anwendet und danach geeignet umindiziert. Beispielhaft wird hier die beschriebene Umformung für den Nenner durchgeführt, wobei der neue Index $μ = n− ν$ eingeführt wird.

n−1
∏ 1+ x22-
-x ----μ=2,4,6,...----aμ-----
y = M ⋅ n−2 2
∏ 1+ --2(--xK′--′)
ν=1,3,5,... sc νn ;k
n−1 2
∏ 1 + xa2μ
= -x ⋅------μ=2,4,6,...------------
M n−1 2 2( K′ ′) 2
μ=∏2,4,6,...1+ k sc μ n ;k x
2
x n−1 1+ ax2μ
= M- ∏ 1-+k2a2x2-
μ=2,4,6,... μ

4.10.4 Nullstellen (Koeffizienten)

Die Nullstellen waren der Ausgangspunkt bei der Ermittlung der Koeffizienten von Nenner- und Zählerpolynom in Transformationsbeziehung 151 bzw. 125. Sie liegen in diesem Fall nicht direkt auf den schon desöfteren betrachteten Wegabschnitten $○1$ - $○3$ von $u$ , sondern auf imaginären Punkten innerhalb des Periodenrechtecks (vgl. auch Abbildung 18 sowie imaginäre Transformation nach Gleichung 57, Abschnitt 57).

4.10.5 Polstellen

Die $n− 1$ Pole wurden (wie die Nullstellen auch) schon bei der Herleitung der rationalen Transformationsbeziehung bestimmt. Sie sind jedoch auch leicht aus Gleichung 151 abzulesen.⁵³

4.10.6 Extremwerte

Die lokalen Extremwerte, welche auch in Abbildung 19 zu erkennen sind, liegen bei

4.10.7 Beziehung für $sn$

Einsetzen der Koeffizientenformel 152 in die rationale Transformationsbeziehung 153 führt zu den elliptischen Darstellungen

Die Formeln für den elliptischen Cosinus und die Delta-Amplitude kann man z. B. [Ach70, Tab. XXIII] entnehmen.

4.10.8 Der Multiplikator $M$

Der Multiplikator $M$ kann durch Evaluation der Transformationsgleichung 151 oder 153 an der Stelle $y = f(1;k)= 1$ gewonnen werden.

Einsetzen der Koeffizientenformel 152 führt zu einer weiteren, bekannten Darstellung des Multiplikators $M$ .

Beweis. Der Beweis ist nicht schwierig, wenn man $sn2 u+ cn2u= 1$ berücksichtigt.

4.10.9 Das Modul $′ λ$

Das Modul $λ$ kann auf gleichem Wege wie der Multiplikator $M$ bestimmt werden, nur wird dazu der schon bekannte Funktionswert $y = f(1∕k;k)= 1∕λ$ herangezogen, vgl. 18. Evaluation von Transformationsbeziehung 151 an dieser Stelle ergibt sofort

Wieder sind die Beziehungen $sc(K′− u;k′) = k−1cs(u;k′)$ sowie $sn2 u+ cn2u= 1$ gefolgt von Umindizierung im Zähler und Nenner günstig anwendbar, um ausführliche Darstellungen zu entwickeln.

Ausgehend von der Transformationsfunktion nach Gleichung 153 kann eine weitere bekannte Formel für $λ$ ermittelt werden. Sie bezieht Gleichung 154 für den Multiplikator $M$ ein und stützt sich (genauso wie bei der ersten elliptischen Haupttransformation, vgl. 136) auf die vierte Potenz der Koeffizienten $a μ$ .

4.10 Zweite elliptische Haupttransformation, n ungerade

4.10.1 Periodenbeziehungen