Vollstandiges elliptisches Integral erster Art

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2.2 Vollständiges elliptisches Integral erster Art

2.2.1 Definition

Das vollständige elliptische Integral erster Art wird meist in den folgenden drei Formen, die sich durch die Art des Arguments unterscheiden, angegeben:

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Häufig ist auch die Darstellung in der LEGENDRE’schen Normalform nach Gleichung 24, die sich wieder mit der Substitution $t = sinϕ$ aus Definitionsgleichung 21 ergibt.

∫ π K (k)= 2 ∘----dϕ------ 0 1− k2sin2 ϕ

(24)

Von Bedeutung ist auch das komplementäre elliptische Integral $K′$ .

( ) (∘ -----) K′ = K k′ = K 1− k2

(25)

2.2.2 Spezielle Werte

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2.2.3 Funktionsverlauf

Die Funktionsverläufe von $K$ und $K ′$ sowie das Verhältnis beider Integrale für reelles Argument $k$ sind in Abbildung 4 dargestellt.

Abbildung 4: $K$ , $′ K$ und $′ K ∕K$ als Funktion des Moduls $k$

2.2.4 GAUSS-Form

Eine schon in Abschnitt 2.1 mit Hinweis auf C.F. GAUSS eingeführte Variante dieses Integraltyps ist

∫ ∞ ∘------dx--------. x=0 (x2+ a2)(x2+ b2)

(27)

Wie schon in Gleichung 6 kann es auch dargestellt werden als

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Mit dem Modul entsprechend Gleichung 7 ergibt sich die Äquivalenz

∫ ∞ ∫ ∞ ∘-------dx--------= 1- ∘------dx---------= 1K (k). 0 (x2+ a2)(x2+ b2) 2 −∞ (x2+ a2)(x2+ b2) a