Bandpaß

3.3 Bandpaß

3.3.1 Übertragungsfunktion

Ein Bandpaßsystem hat typischerweise einen Durchlaßbereich, welcher sich von $ωg1$ bis $ωg2$ erstreckt (siehe Abbildung 3.3).

Abbildung 3.3:

Bandpaß-Toleranzschema (logarithmisch, $ω0 = 1$ )

Aus dem Tiefpaß-Amplitudengang läßt sich eine solche Charakteristik ableiten, wenn man die Transformationsbeziehung (nach Tabelle 3.1)

( ) ωLP = Q ωBP-− -ω0- , ω0 ωBP

(3.2)

anwendet. Die Kreisfrequenz $ω0$ nimmt in diesem Fall die Bedeutung einer Mittenfrequenz an, $Q$ bezeichnet man als Güte. Die Interpretation von $ω0$ wird einsichtig, wenn man Gleichung 3.2 folgendermaßen umformt (vgl. auch [Pap62, 7-1]):

ω2 − ω2 (ω − ω )(ω + ω ) ωLP = Q--BP---0-= Q --BP----0---BP---0-. ω0 ωBP ω0 ωBP

Um auch für die Güte $Q$ eine anschauliche Aussage zu erhalten, wenden wir (nach Vereinfachung für $ω0 = 1$ ) auf

ω2 − ωLPω − 1= 0 BP Q BP

die quadratische Lösungsformel (vorerst formal) an:

∘ (----)2---- ω = ωLP-± ωLP- + 1. BP1,2 2Q 2Q

(3.3)

An Hand der mehr anschaulichen Umformung

( ω )2 ( ω ) (ω ) ωBP − -LP- = --LP-− 1 --LP− 1 2Q 2Q 2Q

wird deutlich, daß $Q$ insbesondere auf die Skalierung der Tiefpaßfrequenz $ω LP$ und in Folge auf die Breite des Durchlaßbereichs wirkt.

Was wir bezüglich Formel 3.3 noch berücksichtigen müssen ist die Tatsache, daß sich Frequenztransformationen sowohl auf positive als auch negative Kreisfrequenzen beziehen. Hinzu kommt, daß wegen

∘ ----------- ω ( ω )2 --LP< --LP- + 1 2Q 2Q

eine der beiden Frequenzen $ωBP$ in der gewonnenen Lösungsformel immer negativ wird. Man darf sich nun insofern nicht täuschen lassen, als das die andere zugehörige Frequenz (mit gleichem Vorzeichen) durch Einsetzen von $− ωLP$ erzeugt wird. Für den (normierten) Zusammenhang zwischen $ωLP$ und $ωBP$ ergibt sich aus diesem Grund letztlich:

∘ ----------- ( )2 ωBP1,2 = ωLP- + 1± ωLP-. 2Q 2Q

(3.4)

Jede Frequenz des Tiefpasses wird demzufolge auf zwei neue Frequenzen abgebildet, die (arithmetisch) symmetrisch zu dem Wurzelausdruck $√1-+-(ω--∕2Q-)2 LP$ liegen. Für die Abbildung der Grenzfrequenz $ωg = 1$ der normierten Approximationsfunktion bedeutet dies:

∘ (----)----- ∘ (----)----- 1-- 2 1-- -1- 2 Δω- ωg1,2 = 2Q + 1± 2Q = 2Q + 1± 2

und deshalb für die geometrische Mittenfrequenz des Bandpaß’:⁴

ωg ωg = 1. 1 2

(3.5)

Den Sinn, $Q$ als Gütedefinition herzunehmen, unterstreicht folgende Formel für die absolute Bandbreite (bei Mittenfrequenz $ω0 = 1$ ):

1- Δ ω = ωg2− ωg1 = Q.

(3.6)

3.3.2 Pole und Nullstellen

Was die Transformation der Pol- und Nullstellen angeht, so gilt dafür ebenfalls Formel 3.4. Um eine gewisse Geradlinigkeit zu wahren, wählen wir jedoch den “umständlichen” Weg⁵ und substituieren in der Produktdarstellung

m a μ∏=1(s− s∘μ) HLP (s) = -m-⋅-n-------- bn ∏ (s− s×ν) ν=1

zuerst die $ℒ$ -Variable zu $−1 Q(s+ s )$ .

Aus jedem Linearfaktor der Tiefpaß-Übertragungsfunktion entspringen (wegen des quadratischen Auftretens von $s$ in letzter Gleichung) also zwei neue Wurzeln. Die Evaluation erfolgt durch Nullsetzen eines Faktors (hier beispielhaft an einer Nullstelle) und Anwendung der quadratischen Lösungsformel.

∘ (----)2---- s = s∘LP± s∘LP − 1, mit s s = 1 ∘BP1,2 2Q 2Q ∘BP1∘BP2

Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß:

jede Nullstelle (und sinngemäß jeder Pol) nach

wieder zwei neue Nullstellen hervorbringt, wobei reelle Nullstellen nur unter der Bedingung $s∘LP ≥ 2Q$ auch wieder reelle erzeugen (ansonsten ein konjugiert-komplexes Nullstellenpaar);
aus einem Tiefpaß vom Grad $n$ ein Bandpaß vom Grad $2n$ wird (siehe voriger Punkt);
die Transformation zu einer neuen Nullstelle $s∘BP = 0$ mit der Vielfachheit $n− m$ führt;
als Vorfaktor nun $am- −(n−m) bn Q$

wirkt.