Prinzip

4.1 Prinzip

Das Prinzip der Fehlererkennung besteht nun darin, daß sich jedes gültige Codewort als $C (x) = F(x)G(x)$ darstellen läßt, also ohne Rest durch $G (x)$ teilbar sein muß. Ein Nachweis dieser Eigenschaft ist recht schnell durch Kombination der Gleichungen 1 und 3 erbracht, wenn man die spezielle modulo-2 Addition $H +H = 0$ berücksichtigt.

Die Teilbarkeit des Codewortes $C(x)$ durch das Generatorpolynom $G (x)$ kann somit als Prüfkriterium für die Fehlerfreiheit der Übertragung verwendet werden.

C (x) mod G (x) = 0

Wird im Fehlerfall $C(x)$ durch ein Fehlerpolynom $E (x)$ überlagert, dann ist die Summe mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht mehr ohne Rest durch $G (x)$ teilbar.⁴

[C (x)+ E (x)] mod G(x)⁄= 0

(4)

An dieser Stelle soll noch darauf hingeweisen sein, daß bei echten zyklischen Codes die Blocklänge $m = n + k$ nicht frei wählbar ist. Statt dessen ist sie die kleinste Zahl $m$ , für die $(xm + 1) mod G (x) = 0$ gilt, also $xm + 1$ ohne Rest durch $G(x)$ teilbar ist. $m$ ist also ein vom Generatorpolynom abhängiger Wert, der dann seinen Maximalwert von $k m = 2 − 1$ erreicht, wenn $G (x)$ ein nicht weiter reduzierbares (also irreduzibles) Polynom ist.⁵