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1.1 CAUCHY-RIEMANN’sche Differentialgleichungen

Holomorphe bzw. analytische Funktionen2 sind solche, deren Grenzwert

df(z) f(z+-h)−-f(z) dz = hli→m0 h , z∈ ℂ
(1)

existiert und eindeutig ist, die also an der Stelle z differenzierbar sind. Man fordert hierbei nicht unbedingt, daß f(z) für alle z einen solchen Grenzwert hat – man kann sich auch auf ein bestimmtes Gebiet beschränken.3 Die “Einwertigkeit” des Grenzwertes (One-Valued) spielt auf Funktionen an, bei denen er davon abhängt, aus welcher Richtung man sich nähert. Er kann sogar dann existieren, wenn der Funktionswert selbst nicht existiert (wie z. B. sin z∕z an der Stelle z= 0 ). Nicht analytisch sind unter anderen die Funktionen 1∕(z− a) bei a oder auch logz für z = 0 .

Eine Schlußfolgerung von B. RIEMANN in Bezug auf die “Einwertigkeit” des Differentialquotienten (nach Gleichung 1) der analytischen Funktion f(z)= u(x,y)+ jv(x,y) mit z = x+ jy war, daß bei Annäherung in x -Richtung, also bei konstantem y (horizontal) der gleiche Grenzwert gelten muß, wie bei Annäherung aus y -Richtung (bei konstantem x , also vertikal).4

∂f(z) ∂f(z) ∂ x = ∂(jy) (2) ∂-u(x,y) + j∂-v(x,y) = − j∂u(x,y)+ ∂-v(x,y) ∂x ∂ x ∂y ∂ y

Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die CAUCHY-RIEMANN’schen Differentialgleichungen5

pict

und wegen der Unabhängigkeit des Grenzwertes von jedweder Annäherungsrichtung (df∕dz = ∂f∕∂x = ∂f∕∂ (jy) ) außerdem

′ ∂u(x,y) ∂v(x,y) ∂-v(x,y) ∂u-(x,y) f (z)= ∂ x + j ∂x = ∂y − j ∂ y
(4)

bzw.

f′(z) = df(z)= ∂f(z)= − j∂f(z). dz ∂x ∂ y
(5)