Differenziert man beide Teile der CAUCHY-RIEMANN’schen Differentialgleichungen 3 jeweils nach 
und 
und addiert/subtrahiert sie daraufhin diagonal, so erhält man (wegen der Vertauschbarkeit der Reihenfolge von partiellen Ableitungen, Satz von SCHWARZ):
Real- und Imaginärteil analytischer Funktionen sind harmonische bzw. Potentialfunktion, d. h. sie
genügen den LAPLACE-Gleichungen 
und 
. Außerdem ist
wegen
auch 
und jede weitere Ableitung wieder analytisch.