Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die (asymptotische) Stabilität eines linearen, zeitinvarianten Systems besteht darin, daß unter der Voraussetzung eines endlichen Eingangssignals das Ausgangssignal sowohl im Zeitbereich () als auch Bildbereich () beschränkt ist [Kre79, 1.2.1], [Wun62, 2.11]. Im Zeitbereich kann daraus relativ schnell eine Bedingung an die Impulsantwort des Systems abgeleitet werden, wenn man für das Integral in Formel 1.1 absolute Konvergenz fordert [Mil81, 1.4.5].2
Im Zeitbereich fordert man deshalb für die Impulsantwort eines stabilen LTI-Systems:
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was gleichzeitig die Existenz des FOURIER-Integrals sichert [Wax62], [Mil81, 2.3.1], [WW27, § ], [Pap62, 2-1].
Eine davon abgeleitete Forderung bei rationaler -Übertragungsfunktion
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ist die, daß alle Polstellen negative Realteile aufweisen müssen (HURWITZ-Polynom) und der Grad des Zählerpolynoms höchstens so groß wie der des Nenners sein darf. Nur so kann (in einer ersten Betrachtung für ) gewährleistet werden, daß die Partialbruchzerlegung
| (1.4) |
bei der Rücktransformation in den Zeitbereich zu einer beschränkten Impulsantwort führt [Sto92, 2.5.4], [Che95, 44.2], [Kör88, 76]
| (1.5) |
und wegen
im Unendlichen sogar verschwindet.
Sollte jedoch gelten, dann kann in die Summe aus einer echt gebrochen rationalen Funktion (auf welche wieder die Formeln 1.4 und 1.5 zutreffen) und einer Konstante zerlegt werden.3
Durch eine Grenzwertbetrachtung für sieht man sofort, daß reell und endlich ist.4
Nimmt man noch die -Transformationsregel hinzu, so ergibt sich aus
die verallgemeinerte Impulsantwort:5