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1.3  Stabilität

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die (asymptotische) Stabilität eines linearen, zeitinvarianten Systems besteht darin, daß unter der Voraussetzung eines endlichen Eingangssignals |x(t)|< M  < ∞ das Ausgangssignal sowohl im Zeitbereich (|y(t)|< ∞ ) als auch Bildbereich (|Y(jω)|< ∞ ) beschränkt ist [Kre79, 1.2.1], [Wun62, 2.11]. Im Zeitbereich kann daraus relativ schnell eine Bedingung an die Impulsantwort des Systems abgeleitet werden, wenn man für das Integral in Formel 1.1 absolute Konvergenz fordert [Mil81, 1.4.5].2

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Im Zeitbereich fordert man deshalb für die Impulsantwort eines stabilen LTI-Systems:

∫ ∞
 −∞ |h(t)|dt < ∞,
(1.2)

was gleichzeitig die Existenz des FOURIER-Integrals H (jω )= ℱ {h(t)} sichert [Wax62], [Mil81, 2.3.1], [WW27, § 4 ⋅43  ], [Pap62, 2-1].

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Eine davon abgeleitete Forderung bei rationaler ℒ -Übertragungsfunktion

       amsm + ⋅⋅⋅+ a2s2+ a1s+ a0
H (s)= b-sn+-⋅⋅⋅+-b-s2+-b-s+-b--
         n         2    1    0
(1.3)

ist die, daß alle Polstellen negative Realteile aufweisen müssen (HURWITZ-Polynom) und der Grad des Zählerpolynoms höchstens so groß wie der des Nenners sein darf. Nur so kann (in einer ersten Betrachtung für n>  m ) gewährleistet werden, daß die Partialbruchzerlegung

       ---c1----  ---c2----
H (s) = (s− s1)μ1 + (s− s2)μ2 + ⋅⋅⋅
           ×          ×
(1.4)

bei der Rücktransformation in den Zeitbereich zu einer beschränkten Impulsantwort führt [Sto92, 2.5.4], [Che95, 44.2], [Kör88, 76]

h(t)=  ---c1---tμ1−1es×1t+---c2---tμ2−1es×2t+ ⋅⋅⋅
      (μ1− 1)!         (μ2 − 1)!
(1.5)

und wegen

ltim→∞h (t)= lsi→m0s H(s)= 0

im Unendlichen sogar verschwindet.

Sollte jedoch n= m gelten, dann kann H(s)  in die Summe aus einer echt gebrochen rationalen Funktion (auf welche wieder die Formeln 1.4 und 1.5 zutreffen) und einer Konstante an∕bn  zerlegt werden.3

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Durch eine Grenzwertbetrachtung für s→  ∞ sieht man sofort, daß H (∞)  reell und endlich ist.4

lim H (s) = an = H(∞ )
s→ ∞       bn
(1.7)

Nimmt man noch die ℒ -Transformationsregel δ (t)o---o1  hinzu, so ergibt sich aus

H(s)=  ---c1---+  ---c2---+ ⋅⋅⋅+ H(∞ )
       (s− s×1)μ1   (s− s×2)μ2
(1.8)

die verallgemeinerte Impulsantwort:5
h(t)= ---c1---tμ1− 1es×1t+ ---c2---tμ2−1es×2t+ ⋅⋅⋅+ H (∞ )δ(t).
      (μ1 − 1)!         (μ2− 1)!
(1.9)