Hochpaß

3.2 Hochpaß

3.2.1 Übertragungsfunktion

Die spezielle konforme Abbildung $s := ω0 ∕s$ nach Tabelle 3.1 (Inversion³ ) entspricht im Amplitudengang einer Spiegelung um die Frequenz $ω 0$ , wenn man von einer logarithmischen Frequenzachse ausgeht (siehe auch Abbildung 3.2).

Abbildung 3.2:

Hochpaß-Toleranzschema (logarithmisch, $ω0 = ωg$ )

Da bei den Standardapproximationen die normierte Grenzfrequenz üblicherweise zu $ωg = 1$ gewählt wird, kann man $ω0 = 1$ setzen und für die Übertragungsfunktion in der $ℒ$ -Ebene schreiben:

( 1 )m (1 )2 ( 1) am -- +⋅⋅⋅+ a2 -- + a1 -- + a0 HHP (s)= --(-s-)---------(--s)------(-s)-----. 1- n 1- 2 1- bn s + ⋅⋅⋅+b2 s + b1 s + b0

Multipliziert man noch den Nenner mit $sn$ und den Zähler mit $sm$ , so führt dies zu einer Umordnung der Koeffizienten.

n−m a0sm+ a1sm−1+ ⋅⋅⋅+ am −1s+ am HHP (s) = s -bsn+-b-sn−1+-⋅⋅⋅+-b---s+-b-- 0 1 n−1 n

(3.1)

3.2.2 Pole und Nullstellen

Die Wirkung der Transformation auf die rationale Übertragungsfunktion nach Formel 3.1 korrespondiert mit einer bestimmten Verschiebung der Pol- und Nullstellen in der komplexen Ebene. Sehen wir uns dazu die Übertragungsfunktion $H(s)$ eines Tiefpaß’ in Linearfaktordarstellung an.

m ∏ (s− s∘μ) H (s) = am-⋅μ=1------- LP bn n ∏ν=1(s− s×ν)

Einsetzen der Substitution $s:= s− 1$ läßt daraus

werden, d. h. :

Pole und Nullstellen des Tiefpaß’ werden invertiert;
$sHP = -1-, sHP = -1-- ∘ s∘LP × s×LP$
es entsteht eine neue Nullstelle bei $s∘ = 0$ mit der Vielfachheit $n − m$ ;
als Vorfaktor wirkt nun das (komplexe) Produkt aller Pole bzw. Nullstellen: $m ∏ s∘μ (− 1)n−m am⋅ μ=1-. bn n s ∏ν=1 ×ν$