Funktionen mehrdimensionaler Zufallsgroßen

3.2 Funktionen mehrdimensionaler Zufallsgrößen

Ausgehend von der eindimensionalen Transformation einer Zufallsgröße (im vorherigen Abschnitt) läßt sich das Problem von Funktionen mehrdimensionaler Zufallsgrößen wiefolgt formulieren:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsdichte $pY (y1,y2,...,yn)$ des Zufallsvektors $Y$ , die sich aus der Transformation des Zufallsvektors $X$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $pX(x1,x2,...,xn)$ durch reelle Funktionen $f1,f2,...,fn$ dergestalt

ergibt.

Setzen wir (der Kürze halber) sowohl bei Variablen als auch Funktionen Vektorschreibweisen der Art

Y = f(X ) X = f(−1)(Y)= h (Y )

(34)

ein, dann wird schon auf Symbolebene die Ähnlichkeit zum eindimensionalen Fall erkennbar. Aus diesem Grund wird hier der Ansatz der formalen Erweiterung von Gleichung 30 auf $n$ Dimensionen verfolgt, wobei wir (zuerst) jegliche Betragszeichen ignorieren.¹⁵

pX (x)dx1dx2⋅⋅⋅dxn = pY(y)dy1dy2⋅⋅⋅dyn

(35)

Dabei kann man sich weiterhin von der anschaulichen Darstellung in Abbildung 2 leiten lassen, muß die Transformation von eindimensionalen, differentiellen Größen ( $dxf(→x)dy$ ) nun aber auf Gebiete der Dimension $n$ ausdehnen ( $f(x) dx→ dy$ ).

Den Zusammenhang zwischen den Inhaltsmomenten¹⁶ $dx1dx2⋅⋅⋅dxn$ und $dy1dy2⋅⋅⋅dyn$ gibt uns die aus der Integralrechnung bekannte Funktional- bzw. JACOBI-Determinante $|J|$ .¹⁷

dx1dx2⋅⋅⋅dxn = |Jh|dy1dy2⋅⋅⋅dyn

(36)

Die ihr zugrunde liegende JACOBI-Matrix hat eine $n× n$ Struktur, in der jedes Element die partielle Ableitung der Funktion $hk(y1,y2,...,yn)$ nach einer Variablen $yi$ enthält. Für den Funktionsvektor $h$ hat sie das folgende Aussehen:

| | || ∂h1(y) ∂h1(y) ∂-h1(y) || || ∂y1 ∂ y2 ⋅⋅⋅ ∂yn || | ∂h2(y) ∂h2(y) ∂ h2(y) | || ------ ------ ⋅⋅⋅ ------ || |Jh|= || ∂y1 ∂ y2 ∂yn ||, || ... ... ... ... || || || || ∂hn(y) ∂hn(y) ⋅⋅⋅ ∂-hn(y) || ∂y1 ∂ y2 ∂yn

wobei wir die Betragszeichen sowohl als Kennzeichnung für eine Determinante als auch den echten Betrag des Ergebnisses werten wollen. Vergleicht man nun Formel 35 und 36, dann wird der Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeitsdichten von $X$ und $Y$ sofort offensichtlich [PP02, 6], [Ros04, 2.5], [Gne58, § 23].

pY(y)= |Jh|pX (x)

(37)

Die ebenfalls interessante Verteilungsfunktion von $Y$ kann man z. B. aus Definitionsgleichung 17 durch Einsetzen von Formel 35 gewinnen.¹⁸

Die Integrationsgrenzen ergeben sich dabei aus der Bedingung $fk(x1,x2,...,xn)< yk$ für das Integrationsgebiet $B$ (vgl. Definition der Verteilungsfunktion: $Pr(Yk < yk)$ ).

Auf der Grundlage von Formel 35 lassen sich nun auch die Erwartungswerte $E(Yi)$ berechnen.

∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞
E(Yi) = ⋅⋅⋅ yipY (y1,y2,...,yn)dyn⋅⋅⋅dy2dy1
∫− ∞∞∫−∞∞ ∫−∞∞
= ⋅⋅⋅ fi(x1,x2,...,xn)pX (x1,x2,...,xn)dxn⋅⋅⋅dx2dx1
−∞ −∞ −∞

Für den zweidimensionalen Spezialfall $Y = f(X1,X2)$ bestimmt sich der Erwartungswert wiefolgt:

∫ ∞∫ ∞ E(Y) = f(x1,x2)pX (x1,x2)dx2dx1 −∞ − ∞

(39)