Quantisierung

5.3 Quantisierung

5.3.1 Quantisierungsrauschen

Die Wandlung eines zeitkontinuierlichen Eingangssignals $f(t)$ in ein digitalisiertes Ausgangssignal $q(kT)$ ist ein Vorgang, der üblicherweise aus den Schritten: Abtasten und Quantisierung besteht [Azi90, 3.7], [EK91, 1.7.4]. Die Quantisierung in diskrete Amplitudenwerte erfolgt fast immer durch Einsatz eines Analog/Digital-Wandlers (A/D-Konverter, ADC). Aufgrund der endlichen Anzahl an Quantisierungsstufen entsteht dabei ein Fehler, der sich als Quantisierungsrauschen $n(t)$ repräsentiert (vgl. Abbildung 4).

Abbildung 4: Lineare Quantisierung

Für stationäre ergodische Prozesse ist die Betrachtung von $q(t)$ zu einem beliebigen Abstastzeitpunkt $kT$ ausreichend.³⁹ Wenn $Δ$ dieHöhe einer Quantisierungsstufe darstellt,⁴⁰ dann wird der Signalwert $f(kT)$ mit $Λ ≤ f(kT)≤ Λ+ Δ$ bei idealer Quantisierung entweder auf den Wert $Λ$ oder aber $Λ + Δ$ – und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit – quantisiert. Dadurch ist der Fehler $n$ im Intervall $− Δ∕2 ≤ n≤ Δ∕2$ gleichverteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $p(n)= Δ −1$ (vgl. Formel 14). Der Effektivwert des Quantisierungsrauschens kann nun ausgehend von Gleichung 12, mit Hilfe der für die Gleichverteilung gültigen Formeln 15 und 16, gewonnen werden. Beim Einsetzen der konkreten Werte für die Intervallgrenzen ( $a= − Δ∕2$ , $b = + Δ∕2$ ) fällt sofort auf, daß der Mittelwert verschwindet und sich die Effektivwertformel 12 weiter vereinfacht.

In der Theorie ist der auf den Eingang des A/D-Wandlers bezogene Effektivwert des Quantisierungsrauschens aus den zugehörigen technischen Daten ermittelbar. Dazu bestimmt man aus der Anzahl von Bit $B$ (die typischerweise den A/D-Wandler⁴¹ charakterisieren) und der maximal erlaubten Größe des Eingangssignals (üblicherweise die Referenzspannung $U0$ ) die Anzahl der Quantisierungsstufen zu $N = 2B$ . Bei linearer Quantisierung ergibt sich als Effektivwert für das dadurch hervorgerufene Rauschen

~n = √Δ---= -U√0---= 2−B√U0-. 12 N 12 12

(65)

5.3.2 Signal-Rausch-Abstand (Signal-Noise-Ratio, SNR)

Die SNR ist als logarithmisches Verhältnis von Signalleistung zur Rauschleistung definiert.

P SNR = 10log -s Pn

Wird die Leistung jeweils am gleichen Widerstand umgesetzt kann die SNR mittels der Effektivwerte des Bezugssignals $~s$ und des Quantisierungsrauschens $~n$ ausgedrückt werden.

( )2 SNR = 10log ~s- = 20log ~s- ~n ~n

Bei einem sinusförmigen Nutzsignal $~s$ maximaler Aussteuerung ist als größter Spitzenwert $√ -- U0 = 2~s$ anzusetzen.⁴² Durch Anwendung der Gleichung 65 für die effektive Rauschamplitude kann der maximal erreichbare Signal-Rausch-Abstand bestimmt werden.

Wesentlich ist die Erkenntnis, daß bei einer Erhöhung der Auflösung des A/D-Wandlers um ein Bit der Signal-Rausch-Abstand linear um $6,02dB$ zunimmt.⁴³